Номер 33.9, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.9. Решите уравнение:

1) $\cos 3x + \sin x \sin 2x = 0$;

2) $\sin 3x \cos 2x = \sin 5x$;

3) $2\cos(x + 20^\circ)\cos x = \cos 40^\circ$;

4) $\cos 3x \cos 6x = \cos 4x \cos 7x$.

1) Исходное уравнение: $cos3x + sinx \cdot sin2x = 0$.

Для преобразования произведения синусов используем формулу $sinx \cdot siny = \frac{1}{2}(cos(x-y) - cos(x+y))$.

Применим ее к члену $sinx \cdot sin2x$:

$sinx \cdot sin2x = \frac{1}{2}(cos(x-2x) - cos(x+2x)) = \frac{1}{2}(cos(-x) - cos(3x))$.

Поскольку косинус — четная функция, $cos(-x) = cosx$. Таким образом, выражение равно $\frac{1}{2}(cosx - cos3x)$.

Подставим это в исходное уравнение:

$cos3x + \frac{1}{2}(cosx - cos3x) = 0$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2cos3x + cosx - cos3x = 0$

$cos3x + cosx = 0$

Теперь применим формулу суммы косинусов $cos\alpha + cos\beta = 2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

$2cos(\frac{3x+x}{2})cos(\frac{3x-x}{2}) = 0$

$2cos(2x)cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1. $cosx = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $cos2x = 0$, откуда $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin3x \cdot cos2x = sin5x$.

Применим к левой части формулу произведения синуса на косинус $sin\alpha \cdot cos\beta = \frac{1}{2}(sin(\alpha+\beta) + sin(\alpha-\beta))$.

$sin3x \cdot cos2x = \frac{1}{2}(sin(3x+2x) + sin(3x-2x)) = \frac{1}{2}(sin5x + sinx)$.

Подставим полученное выражение в уравнение:

$\frac{1}{2}(sin5x + sinx) = sin5x$

$sin5x + sinx = 2sin5x$

$sinx = sin5x$

$sin5x - sinx = 0$

Применим формулу разности синусов $sin\alpha - sin\beta = 2sin(\frac{\alpha-\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})$.

$2sin(\frac{5x-x}{2})cos(\frac{5x+x}{2}) = 0$

$2sin(2x)cos(3x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $sin2x = 0$, откуда $2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $cos3x = 0$, откуда $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $2cos(x + 20^\circ)cosx = cos40^\circ$.

Для преобразования левой части используем формулу $2cos\alpha \cdot cos\beta = cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta)$.

$2cos(x+20^\circ)cosx = cos((x+20^\circ)+x) + cos((x+20^\circ)-x) = cos(2x+20^\circ) + cos(20^\circ)$.

Уравнение принимает вид:

$cos(2x+20^\circ) + cos(20^\circ) = cos40^\circ$

$cos(2x+20^\circ) = cos40^\circ - cos20^\circ$

Преобразуем правую часть по формуле разности косинусов $cos\alpha - cos\beta = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$:

$cos40^\circ - cos20^\circ = -2sin(\frac{40^\circ+20^\circ}{2})sin(\frac{40^\circ-20^\circ}{2}) = -2sin(30^\circ)sin(10^\circ)$.

Поскольку $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, правая часть равна $-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot sin(10^\circ) = -sin(10^\circ)$.

Получаем уравнение $cos(2x+20^\circ) = -sin(10^\circ)$.

Используя формулу приведения $cos(90^\circ+\alpha) = -sin\alpha$, заменим $-sin(10^\circ)$ на $cos(90^\circ+10^\circ) = cos(100^\circ)$.

$cos(2x+20^\circ) = cos(100^\circ)$

Из равенства косинусов следует $2x+20^\circ = \pm 100^\circ + 360^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая:

1. $2x+20^\circ = 100^\circ + 360^\circ n \implies 2x = 80^\circ + 360^\circ n \implies x = 40^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. $2x+20^\circ = -100^\circ + 360^\circ n \implies 2x = -120^\circ + 360^\circ n \implies x = -60^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 40^\circ + 180^\circ n, \quad x = -60^\circ + 180^\circ n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $cos3x \cdot cos6x = cos4x \cdot cos7x$.

Применим формулу $cos\alpha \cdot cos\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha+\beta) + cos(\alpha-\beta))$ к обеим частям уравнения.

Левая часть: $cos3x \cdot cos6x = \frac{1}{2}(cos(3x+6x) + cos(6x-3x)) = \frac{1}{2}(cos9x + cos3x)$.

Правая часть: $cos4x \cdot cos7x = \frac{1}{2}(cos(4x+7x) + cos(7x-4x)) = \frac{1}{2}(cos11x + cos3x)$.

Приравниваем преобразованные части и умножаем на 2:

$cos9x + cos3x = cos11x + cos3x$

$cos9x = cos11x$

$cos11x - cos9x = 0$

Применим формулу разности косинусов $cos\alpha - cos\beta = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

$-2sin(\frac{11x+9x}{2})sin(\frac{11x-9x}{2}) = 0$

$-2sin(10x)sin(x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $sin(x) = 0$, откуда $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $sin(10x) = 0$, откуда $10x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Следовательно, $x = \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что первая серия решений ($x = \pi k$) является частным случаем второй серии при $n=10k$ ($x = \frac{\pi (10k)}{10} = \pi k$). Поэтому все решения можно описать одной, более общей, формулой.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.