Номер 33.15, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.15. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3}, \\ \cos x + \cos y = \frac{3}{2}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = \frac{5}{6}\pi, \\ \cos^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{4}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4}, \\ \cos x \cos y = \frac{\sqrt{3}}{4}. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3} \\ \cos x + \cos y = \frac{3}{2} \end{cases}$

Для решения используем формулу суммы косинусов для второго уравнения: $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}$.

Применив ее, получаем:

$2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \frac{3}{2}$

Из первого уравнения системы известно, что $x - y = \frac{\pi}{3}$, а значит $\frac{x-y}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в преобразованное уравнение:

$2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{\pi}{6} = \frac{3}{2}$

Так как $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, уравнение принимает вид:

$2 \cos\frac{x+y}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$

$\sqrt{3} \cos\frac{x+y}{2} = \frac{3}{2}$

$\cos\frac{x+y}{2} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда следует, что:

$\frac{x+y}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x+y = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Теперь мы имеем две системы линейных уравнений для $x$ и $y$.

Случай 1:

$\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3} \\ x + y = \frac{\pi}{3} + 4\pi n \end{cases}$

Сложим уравнения: $2x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y = 4\pi n$, откуда $y = 2\pi n$.

Случай 2:

$\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{3} \\ x + y = -\frac{\pi}{3} + 4\pi n \end{cases}$

Сложим уравнения: $2x = 4\pi n$, откуда $x = 2\pi n$.

Вычтем первое уравнение из второго: $2y = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n$, откуда $y = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Ответ: $(\frac{\pi}{3} + 2\pi n, 2\pi n)$, $(2\pi n, -\frac{\pi}{3} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{6} \\ \cos^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{4} \end{cases}$

Преобразуем второе уравнение, используя формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(2y)}{2} = \frac{1}{4}$

Умножим обе части на 2:

$1 + \cos(2x) + 1 + \cos(2y) = \frac{1}{2}$

$2 + \cos(2x) + \cos(2y) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) + \cos(2y) = -\frac{3}{2}$

Теперь применим формулу суммы косинусов: $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}$.

$2 \cos\frac{2x+2y}{2} \cos\frac{2x-2y}{2} = -\frac{3}{2}$

$2 \cos(x+y) \cos(x-y) = -\frac{3}{2}$

Из первого уравнения системы известно, что $x+y = \frac{5\pi}{6}$. Подставляем это значение:

$2 \cos(\frac{5\pi}{6}) \cos(x-y) = -\frac{3}{2}$

Так как $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cos(x-y) = -\frac{3}{2}$

$-\sqrt{3} \cos(x-y) = -\frac{3}{2}$

$\cos(x-y) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда $x-y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1:

$\begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{6} \\ x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \end{cases}$

Сложив уравнения, получим $2x = \frac{6\pi}{6} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Вычтя второе уравнение из первого, получим $2y = \frac{4\pi}{6} - 2\pi n = \frac{2\pi}{3} - 2\pi n$, откуда $y = \frac{\pi}{3} - \pi n$.

Случай 2:

$\begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{6} \\ x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \end{cases}$

Сложив уравнения, получим $2x = \frac{4\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$.

Вычтя второе уравнение из первого, получим $2y = \frac{6\pi}{6} - 2\pi n = \pi - 2\pi n$, откуда $y = \frac{\pi}{2} - \pi n$.

Ответ: $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{3} - \pi n)$, $(\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{2} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \cos x \cos y = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{cases}$

Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности углов:

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

Сложим уравнения данной системы:

$\cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда $\cos(x-y) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычтем первое уравнение системы из второго:

$\cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$

Отсюда $\cos(x+y) = 0$.

Получаем новую систему:

$\begin{cases} \cos(x+y) = 0 \\ \cos(x-y) = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Из этой системы находим выражения для суммы и разности $x$ и $y$:

$x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

$x-y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Рассмотрим два случая.

Случай 1:

$\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x-y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi n + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + \pi n + 2\pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} + \pi k$.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n - 2\pi k = \frac{\pi}{3} + \pi n - 2\pi k$, откуда $y = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} - \pi k$.

Случай 2:

$\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x-y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + \pi n + 2\pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} + \pi k$.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + \pi n - 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + \pi n - 2\pi k$, откуда $y = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} - \pi k$.

Ответ: $(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} + \pi k, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} - \pi k)$, $(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} + \pi k, \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} - \pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.