Номер 33.19, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.19. Решите уравнение:

1) $\sin 3x + \sin x - \sin 2x = 2 \cos^2 x - 2 \cos x$;

2) $(\cos x - \sin x)^2 - 0,5 \sin 4x = \sin^4 x - \cos^4 x$.

1) $ \sin3x + \sin x - \sin2x = 2\cos^2 x - 2\cos x $

Для решения уравнения преобразуем его левую и правую части, используя тригонометрические тождества.

В левой части применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ к первым двум слагаемым:

$ \sin3x + \sin x = 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin2x\cos x $.

Теперь левая часть уравнения выглядит так: $ 2\sin2x\cos x - \sin2x $. Вынесем общий множитель $ \sin2x $:

$ \sin2x(2\cos x - 1) $.

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin2x = 2\sin x\cos x $:

$ 2\sin x\cos x(2\cos x - 1) $.

В правой части уравнения вынесем за скобки общий множитель $ 2\cos x $:

$ 2\cos^2 x - 2\cos x = 2\cos x(\cos x - 1) $.

Приравняем преобразованные левую и правую части:

$ 2\sin x\cos x(2\cos x - 1) = 2\cos x(\cos x - 1) $.

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем за скобки общий множитель $ 2\cos x $:

$ 2\sin x\cos x(2\cos x - 1) - 2\cos x(\cos x - 1) = 0 $

$ 2\cos x[\sin x(2\cos x - 1) - (\cos x - 1)] = 0 $

$ 2\cos x(2\sin x\cos x - \sin x - \cos x + 1) = 0 $.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям.

Случай 1: $ \cos x = 0 $.

Решениями этого уравнения являются $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z $.

Случай 2: $ 2\sin x\cos x - \sin x - \cos x + 1 = 0 $.

Заменим $ 2\sin x\cos x $ на $ \sin2x $: $ \sin2x - (\sin x + \cos x) + 1 = 0 $.

Введем новую переменную $ t = \sin x + \cos x $. Тогда $ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x\cos x = 1 + \sin2x $. Отсюда $ \sin2x = t^2 - 1 $.

Подставим замену в уравнение:

$ (t^2 - 1) - t + 1 = 0 $

$ t^2 - t = 0 $

$ t(t-1) = 0 $.

Получаем два значения для $ t $: $ t=0 $ или $ t=1 $.

Вернемся к переменной $ x $.

а) $ \sin x + \cos x = 0 $. Так как $ \cos x = 0 $ уже рассмотрено в первом случае, здесь мы можем считать, что $ \cos x \neq 0 $, и разделить уравнение на $ \cos x $:

$ \tan x + 1 = 0 \Rightarrow \tan x = -1 $.

Решения: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $.

б) $ \sin x + \cos x = 1 $. Используем метод вспомогательного угла, умножив обе части на $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:

$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Это уравнение распадается на две серии решений:

$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \Rightarrow x = 2\pi m, m \in Z $.

$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in Z $. Эта серия является подмножеством решений из Случая 1.

Объединяя все найденные уникальные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k; \quad x = 2\pi k; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in Z $.

2) $ (\cos x - \sin x)^2 - 0.5\sin4x = \sin^4 x - \cos^4 x $

Упростим каждую часть уравнения по отдельности.

Левая часть (ЛЧ):

Раскроем квадрат разности: $ (\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x = (\cos^2 x + \sin^2 x) - 2\sin x\cos x = 1 - \sin2x $.

Преобразуем второе слагаемое, используя формулу синуса двойного угла $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ 0.5\sin4x = 0.5 \cdot \sin(2 \cdot 2x) = 0.5 \cdot 2\sin2x\cos2x = \sin2x\cos2x $.

Таким образом, ЛЧ = $ 1 - \sin2x - \sin2x\cos2x $.

Правая часть (ПЧ):

Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) $.

Так как $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и $ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos2x $, то $ \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos2x $.

Таким образом, ПЧ = $ -\cos2x $.

Решение уравнения:

Приравняем преобразованные части:

$ 1 - \sin2x - \sin2x\cos2x = -\cos2x $.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 1 - \sin2x - \sin2x\cos2x + \cos2x = 0 $.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$ (1 - \sin2x) + (\cos2x - \sin2x\cos2x) = 0 $

$ (1 - \sin2x) + \cos2x(1 - \sin2x) = 0 $.

Вынесем за скобки общий множитель $ (1 - \sin2x) $:

$ (1 - \sin2x)(1 + \cos2x) = 0 $.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Случай 1: $ 1 - \sin2x = 0 $.

$ \sin2x = 1 $.

$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z $.

Случай 2: $ 1 + \cos2x = 0 $.

$ \cos2x = -1 $.

$ 2x = \pi + 2\pi n, n \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in Z $.