Номер 33.24, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.24. Решите уравнение:

1) $\sin^3 x + \cos^9 x = 1;$

2) $\cos^4 x - \sin^7 x = 1.$

1) Решим уравнение $sin^3x + cos^9x = 1$.

Воспользуемся тем, что для любого действительного числа $x$ значения синуса и косинуса находятся в диапазоне от -1 до 1. Это означает, что $sin(x) \le 1$ и $cos(x) \le 1$.
Для любого $a \in [-1, 1]$ справедливы неравенства $a^3 \le a^2$ и $a^9 \le a^2$.
Докажем это. Неравенство $a^3 \le a^2$ эквивалентно $a^2(1-a) \ge 0$. Так как $a^2 \ge 0$ и $1-a \ge 0$ для $a \le 1$, это неравенство верно.
Неравенство $a^9 \le a^2$ эквивалентно $a^2(1-a^7) \ge 0$. Если $a \in [0, 1]$, то $a^7 \le 1$ и $1-a^7 \ge 0$. Если $a \in [-1, 0)$, то $a^7 < 0$ и $1-a^7 > 1 > 0$. В обоих случаях $a^2(1-a^7) \ge 0$.
Таким образом, мы можем утверждать, что:
$sin^3x \le sin^2x$
$cos^9x \le cos^2x$
Сложив эти два неравенства, получим:
$sin^3x + cos^9x \le sin^2x + cos^2x$
Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$, получаем:
$sin^3x + cos^9x \le 1$
Исходное уравнение требует, чтобы это выражение было равно 1. Равенство достигается только в том случае, когда оба исходных неравенства обращаются в равенства одновременно. То есть, решение исходного уравнения эквивалентно решению системы уравнений:
$ \begin{cases} sin^3x = sin^2x \\ cos^9x = cos^2x \end{cases} $
Решим первое уравнение: $sin^2x - sin^3x = 0$
$sin^2x(1 - sinx) = 0$
Отсюда $sinx = 0$ или $sinx = 1$.
Решим второе уравнение: $cos^2x - cos^9x = 0$
$cos^2x(1 - cos^7x) = 0$
Отсюда $cosx = 0$ или $cos^7x = 1$, что означает $cosx = 1$.
Теперь рассмотрим возможные комбинации решений, которые должны выполняться одновременно:
1. $sinx = 0$ и $cosx = 0$. Это невозможно, так как $sin^2x + cos^2x = 0^2 + 0^2 = 0 \neq 1$.
2. $sinx = 0$ и $cosx = 1$. Это возможно. Если $cosx = 1$, то $x = 2\pi k, k \in Z$. При этих значениях $x$, $sinx = 0$. Эта серия решений подходит.
3. $sinx = 1$ и $cosx = 0$. Это возможно. Если $sinx = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$. При этих значениях $x$, $cosx = 0$. Эта серия решений подходит.
4. $sinx = 1$ и $cosx = 1$. Это невозможно, так как $sin^2x + cos^2x = 1^2 + 1^2 = 2 \neq 1$.
Объединяем решения из пунктов 2 и 3.
Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in Z$.

2) Решим уравнение $cos^4x - sin^7x = 1$.

Перепишем уравнение в виде $cos^4x = 1 + sin^7x$.
Мы знаем, что для любого $x$ справедливы неравенства: $0 \le cos^4x \le 1$
$-1 \le sin^7x \le 1$
Из уравнения $cos^4x = 1 + sin^7x$ и неравенства $cos^4x \le 1$ следует:
$1 + sin^7x \le 1$
$sin^7x \le 0$
Это означает, что $sinx \le 0$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $sinx = 0$.
Подставим это в исходное уравнение:
$cos^4x - 0^7 = 1$
$cos^4x = 1$
Это означает, что $cosx = 1$ или $cosx = -1$. Оба эти значения возможны при $sinx = 0$.
Условие $sinx = 0$ выполняется при $x = \pi k, k \in Z$. Для этих значений $x$ косинус действительно равен $1$ или $-1$, поэтому $cos^4x = (\pm 1)^4 = 1$. Следовательно, вся серия $x = \pi k, k \in Z$ является решением.
Случай 2: $sinx < 0$.
Преобразуем уравнение, используя тождество $cos^2x = 1 - sin^2x$:
$cos^4x = (1 - sin^2x)^2 = 1 - 2sin^2x + sin^4x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(1 - 2sin^2x + sin^4x) - sin^7x = 1$
$-2sin^2x + sin^4x - sin^7x = 0$
Вынесем $sin^2x$ за скобки (мы знаем, что $sinx \neq 0$ в этом случае):
$sin^2x(-2 + sin^2x - sin^5x) = 0$
Так как $sinx \neq 0$, то $sin^2x \neq 0$. Значит, должно выполняться равенство:
$-2 + sin^2x - sin^5x = 0$
$sin^2x - sin^5x = 2$
Пусть $y = sinx$. Мы ищем решения уравнения $y^2 - y^5 = 2$ на интервале $y \in [-1, 0)$ (так как $sinx < 0$).
Проверим значение на границе интервала, при $y = -1$:
$(-1)^2 - (-1)^5 = 1 - (-1) = 2$.
Таким образом, $y = -1$ является решением. Это соответствует $sinx = -1$.
Рассмотрим функцию $f(y) = y^2 - y^5$ на интервале $y \in [-1, 0)$. Найдем ее производную: $f'(y) = 2y - 5y^4$.
На интервале $(-1, 0)$ имеем $y < 0$ и $y^4 > 0$. Следовательно, $2y < 0$ и $-5y^4 < 0$. Это значит, что $f'(y) < 0$ на всем интервале $(-1, 0)$, то есть функция $f(y)$ является строго убывающей.
Поскольку $f(-1)=2$ и функция строго убывает, то для всех $y \in (-1, 0)$ будет выполняться $f(y) < 2$. Следовательно, единственное решение уравнения $y^2 - y^5 = 2$ на отрезке $[-1, 0]$ - это $y=-1$.
Итак, $sinx = -1$. Это происходит при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор решений.
Ответ: $x = \pi k, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in Z$.