Номер 33.21, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.21. Решите уравнение:

1) $\cos 2x + \cos \frac{5x}{2} = 2;$

2) $\sin 6x + \cos \frac{12x}{5} = -2.$

1) $ \cos(2x) + \cos\frac{5x}{2} = 2 $

Область значений функции косинус – это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любых значений аргумента выполняются неравенства:

$ -1 \le \cos(2x) \le 1 $

$ -1 \le \cos\frac{5x}{2} \le 1 $

Сумма двух выражений, каждое из которых не превышает 1, может быть равна 2 только в том случае, когда каждое из этих выражений равно 1. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \cos(2x) = 1 \\ \cos\frac{5x}{2} = 1 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы по отдельности.

Из первого уравнения получаем:

$ 2x = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Из второго уравнения получаем:

$ \frac{5x}{2} = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ 5x = 4\pi n $

$ x = \frac{4\pi n}{5} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Теперь найдем значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям, для этого приравняем полученные выражения для $x$:

$ \pi k = \frac{4\pi n}{5} $

Разделим обе части на $ \pi $:

$ k = \frac{4n}{5} $

Поскольку $k$ должно быть целым числом, $4n$ должно делиться на 5 без остатка. Так как числа 4 и 5 взаимно простые, это возможно только если $n$ делится на 5. Запишем это в виде $ n = 5m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Подставим это выражение для $n$ в формулу для $x$:

$ x = \frac{4\pi (5m)}{5} = 4\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 4\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin(6x) + \cos\frac{12x}{5} = -2 $

Области значений функций синус и косинус – это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для любых значений $x$ справедливы неравенства:

$ -1 \le \sin(6x) \le 1 $

$ -1 \le \cos\frac{12x}{5} \le 1 $

Сумма двух выражений, каждое из которых не меньше -1, может быть равна -2 только в том случае, когда каждое из этих выражений равно -1. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin(6x) = -1 \\ \cos\frac{12x}{5} = -1 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы.

Из первого уравнения:

$ 6x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Из второго уравнения:

$ \frac{12x}{5} = \pi + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ 12x = 5\pi(1 + 2n) $

$ x = \frac{5\pi(1 + 2n)}{12} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Теперь приравняем полученные выражения для $x$, чтобы найти общие решения:

$ -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} = \frac{5\pi(1 + 2n)}{12} $

Умножим обе части уравнения на $ \frac{12}{\pi} $, чтобы избавиться от знаменателя и $ \pi $:

$ -1 + 4k = 5(1 + 2n) $

$ -1 + 4k = 5 + 10n $

$ 4k = 6 + 10n $

Разделим обе части на 2:

$ 2k = 3 + 5n $

Это диофантово уравнение. Выражение $2k$ всегда четное. Выражение $3 + 5n$ должно быть также четным. Так как 3 — нечетное число, то $5n$ должно быть нечетным, что возможно только если $n$ — нечетное число.

Представим нечетное число $n$ в виде $ n = 2m + 1 $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Подставим это выражение для $n$ в одну из формул для $x$ (например, во вторую):

$ x = \frac{5\pi(1 + 2(2m + 1))}{12} = \frac{5\pi(1 + 4m + 2)}{12} = \frac{5\pi(3 + 4m)}{12} $

$ x = \frac{15\pi + 20\pi m}{12} = \frac{15\pi}{12} + \frac{20\pi m}{12} = \frac{5\pi}{4} + \frac{5\pi m}{3} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{5\pi}{4} + \frac{5\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} $.