Страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.18. Решите уравнение:

1) $\cos 3x - \sin x = -\sqrt{3}(\sin 3x - \cos x);$

2) $(\sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x)^2 - 5 = \cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right).$

1)

Исходное уравнение: $\cos3x - \sin x = -\sqrt{3}(\sin3x - \cos x)$.

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$\cos3x - \sin x = -\sqrt{3}\sin3x + \sqrt{3}\cos x$

Сгруппируем слагаемые с аргументами $3x$ в левой части, а с аргументом $x$ — в правой:

$\cos3x + \sqrt{3}\sin3x = \sin x + \sqrt{3}\cos x$

Преобразуем обе части уравнения, используя метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\cos\alpha + b\sin\alpha$ можно представить как $R\cos(\alpha - \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$, $\cos\varphi = \frac{a}{R}$, $\sin\varphi = \frac{b}{R}$.

Для левой части: $\cos3x + \sqrt{3}\sin3x$. Здесь $a=1$, $b=\sqrt{3}$.

$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

$2(\frac{1}{2}\cos3x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin3x) = 2(\cos\frac{\pi}{3}\cos3x + \sin\frac{\pi}{3}\sin3x) = 2\cos(3x - \frac{\pi}{3})$.

Для правой части: $\sqrt{3}\cos x + \sin x$. Здесь $a=\sqrt{3}$, $b=1$.

$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

$2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x) = 2(\cos\frac{\pi}{6}\cos x + \sin\frac{\pi}{6}\sin x) = 2\cos(x - \frac{\pi}{6})$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$2\cos(3x - \frac{\pi}{3}) = 2\cos(x - \frac{\pi}{6})$

$\cos(3x - \frac{\pi}{3}) = \cos(x - \frac{\pi}{6})$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$3x - \frac{\pi}{3} = x - \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

или

$3x - \frac{\pi}{3} = -(x - \frac{\pi}{6}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Решим первое уравнение:

$3x - x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$2x = \frac{2\pi - \pi}{6} + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Решим второе уравнение:

$3x - \frac{\pi}{3} = -x + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$3x + x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{2\pi + \pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Исходное уравнение: $(\sin2x + \sqrt{3}\cos2x)^2 - 5 = \cos(\frac{\pi}{6} - 2x)$.

Преобразуем выражение в скобках с помощью метода вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ можно представить как $R\sin(\alpha + \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$, $\cos\varphi = \frac{a}{R}$, $\sin\varphi = \frac{b}{R}$.

Для $\sin2x + \sqrt{3}\cos2x$: $a=1, b=\sqrt{3}$.

$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

$\sin2x + \sqrt{3}\cos2x = 2(\frac{1}{2}\sin2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x) = 2(\cos\frac{\pi}{3}\sin2x + \sin\frac{\pi}{3}\cos2x) = 2\sin(2x+\frac{\pi}{3})$.

Преобразуем правую часть уравнения с помощью формулы приведения: $\cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)$.

$\cos(\frac{\pi}{6} - 2x) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{6} - 2x)) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2x) = \sin(\frac{3\pi - \pi}{6} + 2x) = \sin(\frac{2\pi}{6} + 2x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(2\sin(2x+\frac{\pi}{3}))^2 - 5 = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$

$4\sin^2(2x+\frac{\pi}{3}) - 5 = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$. Учитывая, что область значений синуса $[-1; 1]$, имеем $|t| \le 1$.

$4t^2 - t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$.

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 9}{8} = \frac{-8}{8} = -1$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 9}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.

Корень $t_2 = \frac{5}{4}$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как $\frac{5}{4} > 1$.

Следовательно, подходит только $t_1 = -1$.

Выполним обратную замену:

$\sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения.

$2x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

$2x = -\frac{3\pi + 2\pi}{6} + 2\pi n$

$2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

$x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

33.19. Решите уравнение:

1) $\sin 3x + \sin x - \sin 2x = 2 \cos^2 x - 2 \cos x$;

2) $(\cos x - \sin x)^2 - 0,5 \sin 4x = \sin^4 x - \cos^4 x$.

1) $ \sin3x + \sin x - \sin2x = 2\cos^2 x - 2\cos x $

Для решения уравнения преобразуем его левую и правую части, используя тригонометрические тождества.

В левой части применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $ к первым двум слагаемым:

$ \sin3x + \sin x = 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin2x\cos x $.

Теперь левая часть уравнения выглядит так: $ 2\sin2x\cos x - \sin2x $. Вынесем общий множитель $ \sin2x $:

$ \sin2x(2\cos x - 1) $.

Применим формулу синуса двойного угла $ \sin2x = 2\sin x\cos x $:

$ 2\sin x\cos x(2\cos x - 1) $.

В правой части уравнения вынесем за скобки общий множитель $ 2\cos x $:

$ 2\cos^2 x - 2\cos x = 2\cos x(\cos x - 1) $.

Приравняем преобразованные левую и правую части:

$ 2\sin x\cos x(2\cos x - 1) = 2\cos x(\cos x - 1) $.

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем за скобки общий множитель $ 2\cos x $:

$ 2\sin x\cos x(2\cos x - 1) - 2\cos x(\cos x - 1) = 0 $

$ 2\cos x[\sin x(2\cos x - 1) - (\cos x - 1)] = 0 $

$ 2\cos x(2\sin x\cos x - \sin x - \cos x + 1) = 0 $.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям.

Случай 1: $ \cos x = 0 $.

Решениями этого уравнения являются $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z $.

Случай 2: $ 2\sin x\cos x - \sin x - \cos x + 1 = 0 $.

Заменим $ 2\sin x\cos x $ на $ \sin2x $: $ \sin2x - (\sin x + \cos x) + 1 = 0 $.

Введем новую переменную $ t = \sin x + \cos x $. Тогда $ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x\cos x = 1 + \sin2x $. Отсюда $ \sin2x = t^2 - 1 $.

Подставим замену в уравнение:

$ (t^2 - 1) - t + 1 = 0 $

$ t^2 - t = 0 $

$ t(t-1) = 0 $.

Получаем два значения для $ t $: $ t=0 $ или $ t=1 $.

Вернемся к переменной $ x $.

а) $ \sin x + \cos x = 0 $. Так как $ \cos x = 0 $ уже рассмотрено в первом случае, здесь мы можем считать, что $ \cos x \neq 0 $, и разделить уравнение на $ \cos x $:

$ \tan x + 1 = 0 \Rightarrow \tan x = -1 $.

Решения: $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $.

б) $ \sin x + \cos x = 1 $. Используем метод вспомогательного угла, умножив обе части на $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:

$ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Это уравнение распадается на две серии решений:

$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \Rightarrow x = 2\pi m, m \in Z $.

$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in Z $. Эта серия является подмножеством решений из Случая 1.

Объединяя все найденные уникальные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k; \quad x = 2\pi k; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in Z $.

2) $ (\cos x - \sin x)^2 - 0.5\sin4x = \sin^4 x - \cos^4 x $

Упростим каждую часть уравнения по отдельности.

Левая часть (ЛЧ):

Раскроем квадрат разности: $ (\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x\cos x + \sin^2 x = (\cos^2 x + \sin^2 x) - 2\sin x\cos x = 1 - \sin2x $.

Преобразуем второе слагаемое, используя формулу синуса двойного угла $ \sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ 0.5\sin4x = 0.5 \cdot \sin(2 \cdot 2x) = 0.5 \cdot 2\sin2x\cos2x = \sin2x\cos2x $.

Таким образом, ЛЧ = $ 1 - \sin2x - \sin2x\cos2x $.

Правая часть (ПЧ):

Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) $.

Так как $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и $ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos2x $, то $ \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos2x $.

Таким образом, ПЧ = $ -\cos2x $.

Решение уравнения:

Приравняем преобразованные части:

$ 1 - \sin2x - \sin2x\cos2x = -\cos2x $.

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ 1 - \sin2x - \sin2x\cos2x + \cos2x = 0 $.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$ (1 - \sin2x) + (\cos2x - \sin2x\cos2x) = 0 $

$ (1 - \sin2x) + \cos2x(1 - \sin2x) = 0 $.

Вынесем за скобки общий множитель $ (1 - \sin2x) $:

$ (1 - \sin2x)(1 + \cos2x) = 0 $.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Случай 1: $ 1 - \sin2x = 0 $.

$ \sin2x = 1 $.

$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z $.

Случай 2: $ 1 + \cos2x = 0 $.

$ \cos2x = -1 $.

$ 2x = \pi + 2\pi n, n \in Z $.

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi k; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in Z $.

33.20. Решите уравнение:

1) $\sin^3 4x + \cos^3 4x = 1 - 0.5 \sin 8x;$

2) $\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2}(\cos^4 2x - \sin^4 2x).$

1) $\sin^3(4x) + \cos^3(4x) = 1 - 0,5\sin(8x)$

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$1 - 0,5\sin(8x) = 1 - 0,5\sin(2 \cdot 4x) = 1 - 0,5 \cdot 2\sin(4x)\cos(4x) = 1 - \sin(4x)\cos(4x)$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin^3(4x) + \cos^3(4x) = (\sin(4x) + \cos(4x))(\sin^2(4x) - \sin(4x)\cos(4x) + \cos^2(4x)) = (\sin(4x) + \cos(4x))(1 - \sin(4x)\cos(4x))$.

Теперь уравнение имеет вид:

$(\sin(4x) + \cos(4x))(1 - \sin(4x)\cos(4x)) = 1 - \sin(4x)\cos(4x)$.

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(1 - \sin(4x)\cos(4x))$ за скобки:

$(\sin(4x) + \cos(4x))(1 - \sin(4x)\cos(4x)) - (1 - \sin(4x)\cos(4x)) = 0$

$(1 - \sin(4x)\cos(4x))(\sin(4x) + \cos(4x) - 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) $1 - \sin(4x)\cos(4x) = 0$

$\sin(4x)\cos(4x) = 1$

Умножим на 2: $2\sin(4x)\cos(4x) = 2$, что равносильно $\sin(8x) = 2$.

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.

б) $\sin(4x) + \cos(4x) - 1 = 0$

$\sin(4x) + \cos(4x) = 1$.

Это уравнение вида $a\sin u + b\cos u = c$. Решим его методом введения вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(4x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(4x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Поскольку $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, уравнение можно переписать в виде:

$\sin(4x)\cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(4x)\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Применяем формулу синуса суммы $\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin(4x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Отсюда получаем две серии решений:

1. $4x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$4x = 2\pi n$

$x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2. $4x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$4x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$

$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2x) + \sin(2x) = \sqrt{2}(\cos^4(2x) - \sin^4(2x))$

Преобразуем выражение в скобках в правой части, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^4(2x) - \sin^4(2x) = (\cos^2(2x) - \sin^2(2x))(\cos^2(2x) + \sin^2(2x))$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$(\cos^2(2x) - \sin^2(2x)) \cdot 1 = \cos(2 \cdot 2x) = \cos(4x)$.

Уравнение принимает вид:

$\cos(2x) + \sin(2x) = \sqrt{2}\cos(4x)$.

Преобразуем левую часть методом введения вспомогательного угла. Умножим и разделим левую часть на $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2x)) = \sqrt{2}\cos(4x)$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, то:

$\sqrt{2}(\cos(2x)\cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(2x)\sin(\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}\cos(4x)$.

Используя формулу косинуса разности $\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$, получаем:

$\sqrt{2}\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\cos(4x)$.

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \cos(4x)$.

Равенство $\cos\alpha = \cos\beta$ выполняется, если $\alpha = \pm\beta + 2\pi m$. Рассмотрим два случая:

а) $4x = 2x - \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$2x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

б) $4x = -(2x - \frac{\pi}{4}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$4x = -2x + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$6x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{3}, \quad n, k \in \mathbb{Z}$.

33.21. Решите уравнение:

1) $\cos 2x + \cos \frac{5x}{2} = 2;$

2) $\sin 6x + \cos \frac{12x}{5} = -2.$

1) $ \cos(2x) + \cos\frac{5x}{2} = 2 $

Область значений функции косинус – это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любых значений аргумента выполняются неравенства:

$ -1 \le \cos(2x) \le 1 $

$ -1 \le \cos\frac{5x}{2} \le 1 $

Сумма двух выражений, каждое из которых не превышает 1, может быть равна 2 только в том случае, когда каждое из этих выражений равно 1. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \cos(2x) = 1 \\ \cos\frac{5x}{2} = 1 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы по отдельности.

Из первого уравнения получаем:

$ 2x = 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Из второго уравнения получаем:

$ \frac{5x}{2} = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ 5x = 4\pi n $

$ x = \frac{4\pi n}{5} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Теперь найдем значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям, для этого приравняем полученные выражения для $x$:

$ \pi k = \frac{4\pi n}{5} $

Разделим обе части на $ \pi $:

$ k = \frac{4n}{5} $

Поскольку $k$ должно быть целым числом, $4n$ должно делиться на 5 без остатка. Так как числа 4 и 5 взаимно простые, это возможно только если $n$ делится на 5. Запишем это в виде $ n = 5m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Подставим это выражение для $n$ в формулу для $x$:

$ x = \frac{4\pi (5m)}{5} = 4\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 4\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin(6x) + \cos\frac{12x}{5} = -2 $

Области значений функций синус и косинус – это отрезок $[-1; 1]$. Следовательно, для любых значений $x$ справедливы неравенства:

$ -1 \le \sin(6x) \le 1 $

$ -1 \le \cos\frac{12x}{5} \le 1 $

Сумма двух выражений, каждое из которых не меньше -1, может быть равна -2 только в том случае, когда каждое из этих выражений равно -1. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin(6x) = -1 \\ \cos\frac{12x}{5} = -1 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы.

Из первого уравнения:

$ 6x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

$ x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Из второго уравнения:

$ \frac{12x}{5} = \pi + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ 12x = 5\pi(1 + 2n) $

$ x = \frac{5\pi(1 + 2n)}{12} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Теперь приравняем полученные выражения для $x$, чтобы найти общие решения:

$ -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} = \frac{5\pi(1 + 2n)}{12} $

Умножим обе части уравнения на $ \frac{12}{\pi} $, чтобы избавиться от знаменателя и $ \pi $:

$ -1 + 4k = 5(1 + 2n) $

$ -1 + 4k = 5 + 10n $

$ 4k = 6 + 10n $

Разделим обе части на 2:

$ 2k = 3 + 5n $

Это диофантово уравнение. Выражение $2k$ всегда четное. Выражение $3 + 5n$ должно быть также четным. Так как 3 — нечетное число, то $5n$ должно быть нечетным, что возможно только если $n$ — нечетное число.

Представим нечетное число $n$ в виде $ n = 2m + 1 $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Подставим это выражение для $n$ в одну из формул для $x$ (например, во вторую):

$ x = \frac{5\pi(1 + 2(2m + 1))}{12} = \frac{5\pi(1 + 4m + 2)}{12} = \frac{5\pi(3 + 4m)}{12} $

$ x = \frac{15\pi + 20\pi m}{12} = \frac{15\pi}{12} + \frac{20\pi m}{12} = \frac{5\pi}{4} + \frac{5\pi m}{3} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{5\pi}{4} + \frac{5\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} $.

33.22. Решите уравнение:

1) $\cos \frac{13x}{6} - \cos \frac{5x}{6} = 1;$

2) $\sin 2x + \cos \frac{8x}{3} = 2.$

1) $ \cos\frac{13x}{6}\cos\frac{5x}{6} = 1 $

Область значений функции косинус – отрезок $[-1, 1]$. Произведение двух чисел, каждое из которых по модулю не превосходит 1, равно 1 только в двух случаях:

1. Оба сомножителя равны 1.
2. Оба сомножителя равны -1.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Оба косинуса равны 1.

$ \begin{cases} \cos\frac{13x}{6} = 1 \\ \cos\frac{5x}{6} = 1 \end{cases} $

Решаем первое уравнение системы:

$ \frac{13x}{6} = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{12\pi k}{13} $

Решаем второе уравнение системы:

$ \frac{5x}{6} = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{12\pi n}{5} $

Приравняем выражения для $x$, чтобы найти общие решения:

$ \frac{12\pi k}{13} = \frac{12\pi n}{5} $

$ \frac{k}{13} = \frac{n}{5} \implies 5k = 13n $

Так как 5 и 13 — взаимно простые числа, то $k$ должно быть кратно 13, а $n$ должно быть кратно 5. Пусть $k=13m$ и $n=5m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Подставим $k=13m$ в первое выражение для $x$:

$ x = \frac{12\pi(13m)}{13} = 12\pi m, m \in \mathbb{Z} $

Это решения вида $6\pi \cdot (2m)$, то есть кратные $6\pi$ с четным коэффициентом.

Случай 2: Оба косинуса равны -1.

$ \begin{cases} \cos\frac{13x}{6} = -1 \\ \cos\frac{5x}{6} = -1 \end{cases} $

Решаем первое уравнение системы:

$ \frac{13x}{6} = \pi + 2\pi k = \pi(2k+1), k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{6\pi(2k+1)}{13} $

Решаем второе уравнение системы:

$ \frac{5x}{6} = \pi + 2\pi n = \pi(2n+1), n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{6\pi(2n+1)}{5} $

Приравняем выражения для $x$:

$ \frac{6\pi(2k+1)}{13} = \frac{6\pi(2n+1)}{5} $

$ 5(2k+1) = 13(2n+1) $

Так как 5 и 13 — взаимно простые числа, то выражение $(2k+1)$ должно быть кратно 13, а $(2n+1)$ должно быть кратно 5. Пусть $2n+1 = 5j$ для некоторого целого $j$. Левая часть этого равенства, $(2n+1)$, является нечетным числом, следовательно, и правая, $5j$, должна быть нечетной. Это возможно, только если $j$ — нечетное число.

Подставим $2n+1 = 5j$ в выражение для $x$:

$ x = \frac{6\pi(2n+1)}{5} = \frac{6\pi(5j)}{5} = 6\pi j $

Поскольку $j$ — нечетное число, решения имеют вид $6\pi \cdot (\text{нечетное число})$.

Объединяя решения из обоих случаев, мы получаем, что $x$ может быть произведением $6\pi$ на любое целое число (четное из случая 1 и нечетное из случая 2).

$ x = 6\pi m, m \in \mathbb{Z} $

Ответ: $x = 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $ \sin 2x + \cos\frac{8x}{3} = 2 $

Область значений функций синус и косинус – отрезок $[-1, 1]$.

$ -1 \le \sin 2x \le 1 $

$ -1 \le \cos\frac{8x}{3} \le 1 $

Сумма этих двух функций может быть равна 2 только в том случае, когда каждое слагаемое равно своему максимальному значению, то есть 1.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin 2x = 1 \\ \cos\frac{8x}{3} = 1 \end{cases} $

Решаем первое уравнение системы:

$ 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi k = \frac{\pi(4k+1)}{4} $

Решаем второе уравнение системы:

$ \frac{8x}{3} = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{6\pi n}{8} = \frac{3\pi n}{4} $

Теперь найдем общие решения, приравняв выражения для $x$:

$ \frac{\pi(4k+1)}{4} = \frac{3\pi n}{4} $

$ 4k+1 = 3n $

$ 3n - 4k = 1 $

Это линейное диофантово уравнение. Подберем частное решение. Например, при $n=3$ получаем $3 \cdot 3 - 4k = 1 \implies 9 - 4k = 1 \implies 4k = 8 \implies k=2$.

Общее решение для $n$ можно записать как $n = 3 + 4m$, где $m \in \mathbb{Z}$ (поскольку коэффициент при $k$ равен -4).

Подставим это выражение для $n$ в формулу для $x$:

$ x = \frac{3\pi n}{4} = \frac{3\pi(3+4m)}{4} = \frac{9\pi + 12\pi m}{4} = \frac{9\pi}{4} + 3\pi m, m \in \mathbb{Z} $

Ответ: $x = \frac{9\pi}{4} + 3\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

33.23. Решите уравнение:

1) $\cos^7 x + \sin^4 x = 1$;

2) $\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x} = 1$.

1) Решим уравнение $ \cos^7 x + \sin^4 x = 1 $.

Заметим, что для любых действительных значений $ x $ выполняются неравенства $ \cos x \le 1 $ и $ \sin^2 x \le 1 $. Поскольку $ \cos^2 x \ge 0 $, мы можем утверждать, что $ \cos^5 x \le 1 $. Умножив обе части этого неравенства на неотрицательную величину $ \cos^2 x $, получим $ \cos^7 x \le \cos^2 x $. Также очевидно, что $ \sin^4 x \le \sin^2 x $, поскольку $ \sin^2 x \in [0, 1] $.

Сложив эти два неравенства, получаем:

$ \cos^7 x + \sin^4 x \le \cos^2 x + \sin^2 x $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $, мы приходим к выводу, что:

$ \cos^7 x + \sin^4 x \le 1 $

В исходном уравнении дано, что сумма равна единице. Равенство в данном неравенстве достигается тогда и только тогда, когда оба неравенства, которые мы складывали, также обращаются в равенства. То есть должна выполняться система уравнений:

$ \begin{cases} \cos^7 x = \cos^2 x \\ \sin^4 x = \sin^2 x \end{cases} $

Решим первое уравнение системы: $ \cos^7 x = \cos^2 x $.

$ \cos^2 x (\cos^5 x - 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

$ \cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0 $

$ \cos^5 x - 1 = 0 \implies \cos^5 x = 1 \implies \cos x = 1 $

Теперь рассмотрим эти два случая.

Случай 1: $ \cos x = 0 $.

В этом случае из основного тригонометрического тождества следует, что $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - 0 = 1 $. Подставим это значение во второе уравнение системы $ \sin^4 x = \sin^2 x $: $ 1^2 = 1 $, что является верным равенством. Следовательно, все значения $ x $, для которых $ \cos x = 0 $, являются решениями.

$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2: $ \cos x = 1 $.

В этом случае $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - 1 = 0 $. Подставим это значение во второе уравнение системы $ \sin^4 x = \sin^2 x $: $ 0^2 = 0 $, что также является верным равенством. Следовательно, все значения $ x $, для которых $ \cos x = 1 $, являются решениями.

$ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = 2\pi k; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x} = 1 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку подкоренные выражения должны быть неотрицательными, имеем систему неравенств:

$ \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \cos x \ge 0 \end{cases} $

Эта система выполняется, когда $ x $ находится в первой четверти координатной плоскости, включая ее границы. То есть, $ 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Для решения уравнения сделаем замену. Пусть $ a = \sqrt{\sin x} $ и $ b = \sqrt{\cos x} $. По ОДЗ, $ a \ge 0 $ и $ b \ge 0 $.

Исходное уравнение принимает вид: $ a + b = 1 $.

Из замены имеем $ a^2 = \sin x $ и $ b^2 = \cos x $. Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем еще одно уравнение для $ a $ и $ b $:

$ (a^2)^2 + (b^2)^2 = 1 \implies a^4 + b^4 = 1 $.

Теперь решим систему уравнений:

$ \begin{cases} a + b = 1 \\ a^4 + b^4 = 1 \end{cases} $ при условиях $ a \ge 0, b \ge 0 $.

Из первого уравнения выразим $ b = 1 - a $ и подставим во второе:

$ a^4 + (1 - a)^4 = 1 $

Раскроем скобки: $ (1 - a)^4 = 1 - 4a + 6a^2 - 4a^3 + a^4 $.

$ a^4 + 1 - 4a + 6a^2 - 4a^3 + a^4 = 1 $

$ 2a^4 - 4a^3 + 6a^2 - 4a = 0 $

Вынесем общий множитель $ 2a $:

$ 2a(a^3 - 2a^2 + 3a - 2) = 0 $

Это уравнение дает два возможных случая:

1. $ 2a = 0 \implies a = 0 $.

2. $ a^3 - 2a^2 + 3a - 2 = 0 $.

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $ a = 0 $.

Если $ a = 0 $, то $ b = 1 - a = 1 $. Это решение удовлетворяет условиям $ a \ge 0, b \ge 0 $.

Возвращаемся к исходной переменной: $ \sqrt{\sin x} = a = 0 \implies \sin x = 0 $ и $ \sqrt{\cos x} = b = 1 \implies \cos x = 1 $. Решением системы $ \begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos x = 1 \end{cases} $ является $ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $. Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $ a^3 - 2a^2 + 3a - 2 = 0 $.

Подбором находим корень $ a = 1 $: $ 1^3 - 2(1)^2 + 3(1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0 $.

Разделим многочлен $ (a^3 - 2a^2 + 3a - 2) $ на $ (a - 1) $, получим $ (a - 1)(a^2 - a + 2) = 0 $. Квадратное уравнение $ a^2 - a + 2 = 0 $ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7 < 0 $.

Таким образом, единственным действительным решением этого кубического уравнения является $ a = 1 $.

Если $ a = 1 $, то $ b = 1 - a = 0 $. Это решение также удовлетворяет условиям $ a \ge 0, b \ge 0 $.

Возвращаемся к исходной переменной: $ \sqrt{\sin x} = a = 1 \implies \sin x = 1 $ и $ \sqrt{\cos x} = b = 0 \implies \cos x = 0 $. Решением системы $ \begin{cases} \sin x = 1 \\ \cos x = 0 \end{cases} $ является $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $. Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = 2\pi k; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

33.24. Решите уравнение:

1) $\sin^3 x + \cos^9 x = 1;$

2) $\cos^4 x - \sin^7 x = 1.$

1) Решим уравнение $sin^3x + cos^9x = 1$.

Воспользуемся тем, что для любого действительного числа $x$ значения синуса и косинуса находятся в диапазоне от -1 до 1. Это означает, что $sin(x) \le 1$ и $cos(x) \le 1$.
Для любого $a \in [-1, 1]$ справедливы неравенства $a^3 \le a^2$ и $a^9 \le a^2$.
Докажем это. Неравенство $a^3 \le a^2$ эквивалентно $a^2(1-a) \ge 0$. Так как $a^2 \ge 0$ и $1-a \ge 0$ для $a \le 1$, это неравенство верно.
Неравенство $a^9 \le a^2$ эквивалентно $a^2(1-a^7) \ge 0$. Если $a \in [0, 1]$, то $a^7 \le 1$ и $1-a^7 \ge 0$. Если $a \in [-1, 0)$, то $a^7 < 0$ и $1-a^7 > 1 > 0$. В обоих случаях $a^2(1-a^7) \ge 0$.
Таким образом, мы можем утверждать, что:
$sin^3x \le sin^2x$
$cos^9x \le cos^2x$
Сложив эти два неравенства, получим:
$sin^3x + cos^9x \le sin^2x + cos^2x$
Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$, получаем:
$sin^3x + cos^9x \le 1$
Исходное уравнение требует, чтобы это выражение было равно 1. Равенство достигается только в том случае, когда оба исходных неравенства обращаются в равенства одновременно. То есть, решение исходного уравнения эквивалентно решению системы уравнений:
$ \begin{cases} sin^3x = sin^2x \\ cos^9x = cos^2x \end{cases} $
Решим первое уравнение: $sin^2x - sin^3x = 0$
$sin^2x(1 - sinx) = 0$
Отсюда $sinx = 0$ или $sinx = 1$.
Решим второе уравнение: $cos^2x - cos^9x = 0$
$cos^2x(1 - cos^7x) = 0$
Отсюда $cosx = 0$ или $cos^7x = 1$, что означает $cosx = 1$.
Теперь рассмотрим возможные комбинации решений, которые должны выполняться одновременно:
1. $sinx = 0$ и $cosx = 0$. Это невозможно, так как $sin^2x + cos^2x = 0^2 + 0^2 = 0 \neq 1$.
2. $sinx = 0$ и $cosx = 1$. Это возможно. Если $cosx = 1$, то $x = 2\pi k, k \in Z$. При этих значениях $x$, $sinx = 0$. Эта серия решений подходит.
3. $sinx = 1$ и $cosx = 0$. Это возможно. Если $sinx = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$. При этих значениях $x$, $cosx = 0$. Эта серия решений подходит.
4. $sinx = 1$ и $cosx = 1$. Это невозможно, так как $sin^2x + cos^2x = 1^2 + 1^2 = 2 \neq 1$.
Объединяем решения из пунктов 2 и 3.
Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in Z$.

2) Решим уравнение $cos^4x - sin^7x = 1$.

Перепишем уравнение в виде $cos^4x = 1 + sin^7x$.
Мы знаем, что для любого $x$ справедливы неравенства: $0 \le cos^4x \le 1$
$-1 \le sin^7x \le 1$
Из уравнения $cos^4x = 1 + sin^7x$ и неравенства $cos^4x \le 1$ следует:
$1 + sin^7x \le 1$
$sin^7x \le 0$
Это означает, что $sinx \le 0$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $sinx = 0$.
Подставим это в исходное уравнение:
$cos^4x - 0^7 = 1$
$cos^4x = 1$
Это означает, что $cosx = 1$ или $cosx = -1$. Оба эти значения возможны при $sinx = 0$.
Условие $sinx = 0$ выполняется при $x = \pi k, k \in Z$. Для этих значений $x$ косинус действительно равен $1$ или $-1$, поэтому $cos^4x = (\pm 1)^4 = 1$. Следовательно, вся серия $x = \pi k, k \in Z$ является решением.
Случай 2: $sinx < 0$.
Преобразуем уравнение, используя тождество $cos^2x = 1 - sin^2x$:
$cos^4x = (1 - sin^2x)^2 = 1 - 2sin^2x + sin^4x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$(1 - 2sin^2x + sin^4x) - sin^7x = 1$
$-2sin^2x + sin^4x - sin^7x = 0$
Вынесем $sin^2x$ за скобки (мы знаем, что $sinx \neq 0$ в этом случае):
$sin^2x(-2 + sin^2x - sin^5x) = 0$
Так как $sinx \neq 0$, то $sin^2x \neq 0$. Значит, должно выполняться равенство:
$-2 + sin^2x - sin^5x = 0$
$sin^2x - sin^5x = 2$
Пусть $y = sinx$. Мы ищем решения уравнения $y^2 - y^5 = 2$ на интервале $y \in [-1, 0)$ (так как $sinx < 0$).
Проверим значение на границе интервала, при $y = -1$:
$(-1)^2 - (-1)^5 = 1 - (-1) = 2$.
Таким образом, $y = -1$ является решением. Это соответствует $sinx = -1$.
Рассмотрим функцию $f(y) = y^2 - y^5$ на интервале $y \in [-1, 0)$. Найдем ее производную: $f'(y) = 2y - 5y^4$.
На интервале $(-1, 0)$ имеем $y < 0$ и $y^4 > 0$. Следовательно, $2y < 0$ и $-5y^4 < 0$. Это значит, что $f'(y) < 0$ на всем интервале $(-1, 0)$, то есть функция $f(y)$ является строго убывающей.
Поскольку $f(-1)=2$ и функция строго убывает, то для всех $y \in (-1, 0)$ будет выполняться $f(y) < 2$. Следовательно, единственное решение уравнения $y^2 - y^5 = 2$ на отрезке $[-1, 0]$ - это $y=-1$.
Итак, $sinx = -1$. Это происходит при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор решений.
Ответ: $x = \pi k, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $k, n \in Z$.

33.25. Решите уравнение:

1) $\sin^5 x + \cos^5 x = 2 - \sin^4 x$;

2) $\sqrt{2 + \cos^2 2x} = \sin 3x - \cos 3x.$

1) $ \sin^5x + \cos^5x = 2 - \sin^4x $

Решение:

Данное уравнение решается методом оценки. Оценим левую и правую части уравнения.

Для левой части (ЛЧ): $ \sin^5x + \cos^5x $.

Поскольку для любого действительного $x$ выполняются неравенства $ |\sin x| \le 1 $ и $ |\cos x| \le 1 $, то $ \sin^5x \le \sin^2x $ и $ \cos^5x \le \cos^2x $. Сложив эти неравенства, получаем:

$ \sin^5x + \cos^5x \le \sin^2x + \cos^2x $

Так как основное тригонометрическое тождество гласит $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, то получаем, что ЛЧ $ \le 1 $.

Для правой части (ПЧ): $ 2 - \sin^4x $.

Мы знаем, что $ 0 \le \sin^2x \le 1 $, следовательно, $ 0 \le \sin^4x \le 1 $. Умножим это неравенство на -1, что приведет к изменению знаков неравенства:

$ -1 \le -\sin^4x \le 0 $

Прибавив 2 ко всем частям неравенства, получим:

$ 2 - 1 \le 2 - \sin^4x \le 2 - 0 $

$ 1 \le 2 - \sin^4x \le 2 $

Таким образом, ПЧ $ \ge 1 $.

Исходное уравнение $ \text{ЛЧ} = \text{ПЧ} $ может выполняться только в том случае, когда обе части равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sin^5x + \cos^5x = 1 \\ 2 - \sin^4x = 1 \end{cases} $

Решим второе уравнение системы, так как оно проще:

$ 2 - \sin^4x = 1 \implies \sin^4x = 1 $

Это уравнение равносильно совокупности $ \sin x = 1 $ или $ \sin x = -1 $.

Проверим оба случая, подставив их в первое уравнение системы $ \sin^5x + \cos^5x = 1 $.

Случай 1: $ \sin x = 1 $.

Если $ \sin x = 1 $, то $ \cos x = 0 $. Решениями этого уравнения являются $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Подстановка в первое уравнение: $ (1)^5 + (0)^5 = 1 $. Равенство $ 1 = 1 $ верное, следовательно, эти значения $x$ являются решениями.

Случай 2: $ \sin x = -1 $.

Если $ \sin x = -1 $, то $ \cos x = 0 $. Решениями этого уравнения являются $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Подстановка в первое уравнение: $ (-1)^5 + (0)^5 = -1 $. Равенство $ -1 = 1 $ неверное, следовательно, эти значения $x$ не являются решениями.

Таким образом, единственными решениями исходного уравнения являются решения из первого случая.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sqrt{2 + \cos^22x} = \sin3x - \cos3x $

Решение:

Применим метод оценки, как и в предыдущей задаче.

Оценим левую часть (ЛЧ): $ \sqrt{2 + \cos^22x} $.

Известно, что $ 0 \le \cos^22x \le 1 $. Прибавив 2, получаем:

$ 2 \le 2 + \cos^22x \le 3 $

Так как подкоренное выражение положительно, можно извлечь корень:

$ \sqrt{2} \le \sqrt{2 + \cos^22x} \le \sqrt{3} $

Итак, $ \text{ЛЧ} \ge \sqrt{2} $.

Оценим правую часть (ПЧ): $ \sin3x - \cos3x $.

Используем метод вспомогательного угла (R-формулу):

$ \sin3x - \cos3x = \sqrt{1^2 + (-1)^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin3x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos3x \right) $

$ = \sqrt{2}(\sin3x\cos\frac{\pi}{4} - \cos3x\sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\sin(3x - \frac{\pi}{4}) $

Поскольку область значений функции синус $ [-1, 1] $, то:

$ -1 \le \sin(3x - \frac{\pi}{4}) \le 1 $

$ -\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(3x - \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2} $

Итак, $ \text{ПЧ} \le \sqrt{2} $.

Из полученных оценок $ \text{ЛЧ} \ge \sqrt{2} $ и $ \text{ПЧ} \le \sqrt{2} $ следует, что равенство $ \text{ЛЧ} = \text{ПЧ} $ возможно только тогда, когда обе части одновременно равны $ \sqrt{2} $.

Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{2 + \cos^22x} = \sqrt{2} \\ \sin3x - \cos3x = \sqrt{2} \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ \sqrt{2 + \cos^22x} = \sqrt{2} \implies 2 + \cos^22x = 2 \implies \cos^22x = 0 \implies \cos2x = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $

Решим второе уравнение системы:

$ \sin3x - \cos3x = \sqrt{2} \implies \sqrt{2}\sin(3x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \implies \sin(3x - \frac{\pi}{4}) = 1 $

$ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ 3x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

Для нахождения решения исходного уравнения необходимо найти пересечение полученных серий решений. Приравняем выражения для $x$:

$ \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3} $

$ \frac{\pi k}{2} = \frac{2\pi n}{3} \implies \frac{k}{2} = \frac{2n}{3} \implies 3k = 4n $

Так как 3 и 4 — взаимно простые числа, равенство для целых $k$ и $n$ выполняется, если $k$ кратно 4, а $n$ кратно 3. Пусть $ k = 4m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Подставим это значение $k$ в первую серию решений:

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (4m)}{2} = \frac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Эта серия и является решением исходного уравнения.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

33.26. Решите уравнение:

1) $\sin 5x + \sin x = 2 + \cos^2 x;$

2) $\sqrt{5 + \sin^2 3x} = \sin x + 2\cos x.$

1) $sin(5x) + sin(x) = 2 + cos^2(x)$

Для решения этого уравнения воспользуемся методом оценки. Оценим диапазон значений левой и правой частей уравнения.

Левая часть: $sin(5x) + sin(x)$.
Поскольку $-1 \le sin(5x) \le 1$ и $-1 \le sin(x) \le 1$, их сумма не может быть больше, чем $1 + 1 = 2$.
Следовательно, $sin(5x) + sin(x) \le 2$.

Правая часть: $2 + cos^2(x)$.
Поскольку $0 \le cos^2(x) \le 1$, значение правой части находится в диапазоне от $2+0=2$ до $2+1=3$.
Следовательно, $2 + cos^2(x) \ge 2$.

Из оценок следует, что равенство $sin(5x) + sin(x) = 2 + cos^2(x)$ возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны 2. Это приводит к системе уравнений:

$$ \begin{cases} sin(5x) + sin(x) = 2 \\ 2 + cos^2(x) = 2 \end{cases} $$

Рассмотрим второе уравнение системы:$2 + cos^2(x) = 2$
$cos^2(x) = 0$
$cos(x) = 0$

Рассмотрим первое уравнение системы:$sin(5x) + sin(x) = 2$
Это равенство достигается только тогда, когда оба слагаемых равны своему максимальному значению, то есть 1.$$ \begin{cases} sin(5x) = 1 \\ sin(x) = 1 \end{cases} $$

Теперь необходимо найти решения, удовлетворяющие обоим условиям: $cos(x) = 0$ и $sin(x) = 1$. Из основного тригонометрического тождества $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$, если $sin(x) = 1$, то $1^2 + cos^2(x) = 1$, откуда $cos^2(x) = 0$ и $cos(x) = 0$. Таким образом, достаточно решить уравнение $sin(x) = 1$ и проверить, удовлетворяют ли его корни условию $sin(5x) = 1$.

Решаем уравнение $sin(x) = 1$:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Подставляем найденные значения $x$ в условие $sin(5x) = 1$:
$sin(5(\frac{\pi}{2} + 2\pi n)) = sin(\frac{5\pi}{2} + 10\pi n) = sin(\frac{5\pi}{2}) = sin(\frac{4\pi+\pi}{2}) = sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Условие выполняется. Следовательно, решения исходного уравнения — это все $x$, для которых $sin(x) = 1$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$.

2) $\sqrt{5 + sin^2(3x)} = sin(x) + 2cos(x)$

Для решения этого уравнения также воспользуемся методом оценки.

Левая часть: $\sqrt{5 + sin^2(3x)}$.
Поскольку $0 \le sin^2(3x) \le 1$, подкоренное выражение $5 + sin^2(3x)$ находится в диапазоне $[5, 6]$.
Следовательно, значение левой части находится в диапазоне $[\sqrt{5}, \sqrt{6}]$.

Правая часть: $sin(x) + 2cos(x)$.
Преобразуем это выражение по формуле вспомогательного угла: $a \sin(x) + b \cos(x) = R \sin(x + \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2+b^2}$.
Здесь $a=1, b=2$, поэтому $R = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
Таким образом, $sin(x) + 2cos(x) = \sqrt{5} \sin(x + \alpha)$.
Диапазон значений этого выражения равен $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$.

Сопоставим диапазоны значений обеих частей уравнения:
Левая часть: $\sqrt{5 + sin^2(3x)} \ge \sqrt{5}$.
Правая часть: $sin(x) + 2cos(x) \le \sqrt{5}$.

Равенство возможно только в том случае, когда обе части уравнения равны $\sqrt{5}$. Это приводит к системе уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{5 + sin^2(3x)} = \sqrt{5} \\ sin(x) + 2cos(x) = \sqrt{5} \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы:
$\sqrt{5 + sin^2(3x)} = \sqrt{5}$
$5 + sin^2(3x) = 5$
$sin^2(3x) = 0$
$sin(3x) = 0$
Отсюда $3x = \pi n$, то есть $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

Решим второе уравнение системы:
$sin(x) + 2cos(x) = \sqrt{5}$
Это уравнение равносильно $\sqrt{5} \sin(x + \alpha) = \sqrt{5}$, то есть $\sin(x + \alpha) = 1$. Равенство достигается, когда выражение $sin(x) + 2cos(x)$ принимает свое максимальное значение. Это происходит при условии, что $sin(x) = \frac{a}{R} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ и $cos(x) = \frac{b}{R} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Из этих соотношений следует, что $tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} = \frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.

Теперь необходимо проверить, существуют ли такие $x$, которые одновременно удовлетворяют обоим условиям: $x = \frac{\pi n}{3}$ и $tg(x) = \frac{1}{2}$.
Найдем значения тангенса для $x = \frac{\pi n}{3}$ при различных целых $n$:
- если $n$ кратно 3 ($n=3k$), то $x = \pi k$, $tg(x) = 0$.- если $n=1, 4, 7, ...$, то $x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, ...$, $tg(x) = \sqrt{3}$.- если $n=2, 5, 8, ...$, то $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, ...$, $tg(x) = -\sqrt{3}$.- если $n$ такое, что $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, тангенс не определен.
Ни одно из возможных значений $tg(\frac{\pi n}{3})$ не равно $\frac{1}{2}$, так как $\frac{1}{2}$ является рациональным числом, а значения $tg(\frac{\pi n}{3})$ либо рациональны (0), либо иррациональны ($\pm\sqrt{3}$).Следовательно, множества решений для первого и второго уравнений системы не пересекаются.

Ответ: решений нет.

33.27. Решите уравнение $\sqrt{3 - \mathrm{tg}^2 \frac{3\pi x}{2}} \sin \pi x - \cos \pi x = 2.$

Исходное уравнение:$$ \sqrt{3 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right)} \sin(\pi x) - \cos(\pi x) = 2 $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:$$ 3 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) \ge 0 \implies \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) \le 3 $$Кроме того, тангенс должен быть определен, то есть $\cos\left(\frac{3\pi x}{2}\right) \neq 0$.

Воспользуемся методом оценки. Левая часть уравнения представляет собой выражение вида $a \sin \alpha - b \cos \alpha$, где $a = \sqrt{3 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right)}$ и $b=1$. Максимальное значение такого выражения равно $\sqrt{a^2+b^2}$. Следовательно, левая часть уравнения не превышает:$$ \sqrt{\left(\sqrt{3 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right)}\right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) + 1} = \sqrt{4 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right)} $$Таким образом, чтобы уравнение имело решение, должно выполняться неравенство:$$ 2 \le \sqrt{4 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right)} $$Возведем обе части в квадрат:$$ 4 \le 4 - \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) $$$$ 0 \le -\operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) $$$$ \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) \le 0 $$Поскольку квадрат тангенса не может быть отрицательным, единственная возможность — это равенство нулю:$$ \operatorname{tg}^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right) = 0 $$

Это означает, что решение может существовать только при выполнении этого условия. При $\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi x}{2}\right) = 0$ исходное уравнение принимает вид:$$ \sqrt{3 - 0} \sin(\pi x) - \cos(\pi x) = 2 $$$$ \sqrt{3} \sin(\pi x) - \cos(\pi x) = 2 $$Таким образом, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:$$ \begin{cases} \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi x}{2}\right) = 0 \\ \sqrt{3} \sin(\pi x) - \cos(\pi x) = 2 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы:$$ \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi x}{2}\right) = 0 $$$$ \frac{3\pi x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$$$ x = \frac{2n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Решим второе уравнение системы:$$ \sqrt{3} \sin(\pi x) - \cos(\pi x) = 2 $$Разделим обе части на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$:$$ \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\pi x) - \frac{1}{2} \cos(\pi x) = 1 $$Используя формулу синуса разности $\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$, получаем:$$ \sin(\pi x) \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos(\pi x) \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 1 $$$$ \sin\left(\pi x - \frac{\pi}{6}\right) = 1 $$Решением этого уравнения является:$$ \pi x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$$$ \pi x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2\pi m $$$$ \pi x = \frac{4\pi}{6} + 2\pi m = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m $$$$ x = \frac{2}{3} + 2m, \quad m \in \mathbb{Z} $$

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих уравнений. Для этого приравняем полученные выражения для $x$:$$ \frac{2n}{3} = \frac{2}{3} + 2m $$$$ 2n = 2 + 6m $$$$ n = 1 + 3m $$Поскольку для любого целого числа $m$ мы получаем целое число $n$, это означает, что множество решений второго уравнения является подмножеством множества решений первого уравнения. Следовательно, решениями исходной системы (и исходного уравнения) являются все $x$ из второго множества.

Ответ: $x = \frac{2}{3} + 2m, m \in \mathbb{Z}$.

33.28. Решите уравнение $\sqrt{1 - \operatorname{ctg}^2 2\pi x} \cos \pi x + \sin \pi x = \sqrt{2}$.

Найдём область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ 1 - \ctg^2(2\pi x) \ge 0 $, что равносильно $ \ctg^2(2\pi x) \le 1 $ или $ |\ctg(2\pi x)| \le 1 $. Это условие выполняется для $ x $, удовлетворяющих неравенству $ \frac{\pi}{4} + \pi k \le 2\pi x \le \frac{3\pi}{4} + \pi k $ для любого целого $ k $. Разделив на $ 2\pi $, получаем: $ \frac{1}{8} + \frac{k}{2} \le x \le \frac{3}{8} + \frac{k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Во-вторых, сам котангенс должен быть определён, то есть $ \sin(2\pi x) \neq 0 $, что означает $ x \neq \frac{n}{2} $ для любого целого $ n $. Это условие автоматически выполняется для $ x $ из найденных интервалов.

Для решения уравнения воспользуемся методом оценки. Левая часть уравнения имеет вид $ a \cos \alpha + b \sin \alpha $, где $ a = \sqrt{1 - \ctg^2(2\pi x)} $, $ b=1 $ и $ \alpha = \pi x $. Максимальное значение такого выражения не превосходит $ \sqrt{a^2+b^2} $. $ (\sqrt{1 - \ctg^2(2\pi x)} \cos(\pi x) + \sin(\pi x))^2 \le (\sqrt{1 - \ctg^2(2\pi x)})^2 + 1^2 = 2 - \ctg^2(2\pi x) $. Следовательно, левая часть уравнения $ L(x) \le \sqrt{2 - \ctg^2(2\pi x)} $. Поскольку по условию $ L(x) = \sqrt{2} $, получаем неравенство $ \sqrt{2} \le \sqrt{2 - \ctg^2(2\pi x)} $. После возведения в квадрат получаем $ 2 \le 2 - \ctg^2(2\pi x) $, что упрощается до $ \ctg^2(2\pi x) \le 0 $. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, это неравенство возможно только в случае равенства: $ \ctg^2(2\pi x) = 0 $, откуда $ \ctg(2\pi x) = 0 $.

Это является необходимым условием для существования решения. Подставив $ \ctg(2\pi x) = 0 $ в исходное уравнение, мы получим: $ \sqrt{1 - 0} \cos(\pi x) + \sin(\pi x) = \sqrt{2} $
$ \cos(\pi x) + \sin(\pi x) = \sqrt{2} $. Преобразуем левую часть с помощью введения вспомогательного угла: $ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\pi x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\pi x) \right) = \sqrt{2} $
$ \cos(\frac{\pi}{4})\cos(\pi x) + \sin(\frac{\pi}{4})\sin(\pi x) = 1 $
$ \cos(\pi x - \frac{\pi}{4}) = 1 $. Решения этого уравнения: $ \pi x - \frac{\pi}{4} = 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $
$ \pi x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m $
$ x = \frac{1}{4} + 2m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $ x $ необходимому условию $ \ctg(2\pi x) = 0 $ и входят ли они в ОДЗ. Проверка условия: при $ x = \frac{1}{4} + 2m $, имеем $ 2\pi x = 2\pi(\frac{1}{4} + 2m) = \frac{\pi}{2} + 4\pi m $. Тогда $ \ctg(2\pi x) = \ctg(\frac{\pi}{2} + 4\pi m) = 0 $. Условие выполнено. Проверка ОДЗ: $ x = \frac{1}{4} + 2m = \frac{2}{8} + 2m $. Эти значения попадают в интервалы ОДЗ $ [\frac{1}{8} + \frac{k}{2}, \frac{3}{8} + \frac{k}{2}] $ при $ k = 4m $. Поскольку для любого целого $ m $ соответствующее $ k $ также является целым, все решения принадлежат ОДЗ.
Ответ: $ x = \frac{1}{4} + 2m, m \in \mathbb{Z} $.

33.29. Решите уравнение:

1) $(5 + \frac{3}{\sin^2 x})(2 - \sin^6 x) = 7 + \cos 2y;$

2) $(\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x})^2 + (\cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x})^2 = 12 + \frac{1}{2}\sin y.$

1) $(5 + \frac{3}{\sin^2 x})(2 - \sin^6 x) = 7 + \cos 2y$

Данное уравнение содержит две переменные, $x$ и $y$. Решим его методом оценки, сравнивая области значений левой и правой частей уравнения.

Оценим правую часть (ПЧ): $7 + \cos 2y$.

Область значений функции косинус: $-1 \le \cos 2y \le 1$.

Прибавим 7 ко всем частям неравенства:

$7 - 1 \le 7 + \cos 2y \le 7 + 1$

$6 \le 7 + \cos 2y \le 8$

Таким образом, область значений правой части уравнения — это отрезок $[6, 8]$.

Оценим левую часть (ЛЧ): $(5 + \frac{3}{\sin^2 x})(2 - \sin^6 x)$.

Заметим, что в знаменателе стоит $\sin^2 x$, следовательно $\sin x \neq 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin^2 x$. Поскольку $\sin x \neq 0$, то $0 < \sin^2 x \le 1$, следовательно $t \in (0, 1]$.

Рассмотрим функцию $f(t) = (5 + \frac{3}{t})(2 - t^3)$ на промежутке $t \in (0, 1]$.

$f(t) = 10 - 5t^3 + \frac{6}{t} - 3t^2$.

Найдем производную этой функции, чтобы исследовать ее на монотонность:

$f'(t) = -15t^2 - \frac{6}{t^2} - 6t = -(15t^2 + 6t + \frac{6}{t^2})$.

На промежутке $(0, 1]$ все слагаемые в скобках положительны ($t^2 > 0$, $t > 0$, $\frac{6}{t^2} > 0$), поэтому вся скобка положительна. Следовательно, $f'(t) < 0$ для всех $t \in (0, 1]$.

Это означает, что функция $f(t)$ является убывающей на всем промежутке $(0, 1]$.

Наименьшее значение убывающая функция принимает на правом конце промежутка, то есть при $t=1$.

$f_{min} = f(1) = (5 + \frac{3}{1})(2 - 1^3) = (5+3)(2-1) = 8 \cdot 1 = 8$.

Таким образом, для левой части уравнения справедливо неравенство: ЛЧ $\ge 8$.

Сопоставим результаты:

ЛЧ $\ge 8$

ПЧ $\le 8$

Равенство ЛЧ = ПЧ возможно только в том случае, когда обе части равны 8.

$(5 + \frac{3}{\sin^2 x})(2 - \sin^6 x) = 8$

$7 + \cos 2y = 8$

Решим полученную систему уравнений.

Из первого уравнения следует, что оно достигает своего минимального значения, а это происходит при $t = \sin^2 x = 1$.

$\sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения:

$\cos 2y = 1 \implies 2y = 2\pi n \implies y = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; y = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $(\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x})^2 + (\cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x})^2 = 12 + \frac{1}{2}\sin y$

Как и в предыдущем задании, применим метод оценки для решения уравнения с двумя переменными.

Оценим правую часть (ПЧ): $12 + \frac{1}{2}\sin y$.

Область значений синуса: $-1 \le \sin y \le 1$.

Умножим на $\frac{1}{2}$: $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin y \le \frac{1}{2}$.

Прибавим 12: $12 - \frac{1}{2} \le 12 + \frac{1}{2}\sin y \le 12 + \frac{1}{2}$.

$11.5 \le 12 + \frac{1}{2}\sin y \le 12.5$.

Таким образом, область значений правой части — это отрезок $[11.5, 12.5]$.

Оценим левую часть (ЛЧ): $(\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x})^2 + (\cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x})^2$.

Из вида уравнения следует, что $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$.

Раскроем скобки и преобразуем выражение:

ЛЧ = $(\sin^4 x + 2 + \frac{1}{\sin^4 x}) + (\cos^4 x + 2 + \frac{1}{\cos^4 x}) = (\sin^4 x + \cos^4 x) + (\frac{1}{\sin^4 x} + \frac{1}{\cos^4 x}) + 4$.

Используем известные тождества: $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.

$\frac{1}{\sin^4 x} + \frac{1}{\cos^4 x} = \frac{\cos^4 x + \sin^4 x}{\sin^4 x \cos^4 x} = \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^2 x \cos^2 x)^2}$.

Подставим это в выражение для ЛЧ:

ЛЧ = $(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) + \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^2 x \cos^2 x)^2} + 4 = 5 - 2\sin^2 x \cos^2 x + \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{(\sin^2 x \cos^2 x)^2}$.

Сделаем замену: $z = \sin^2 x \cos^2 x$.

Преобразуем $z$: $z = (\sin x \cos x)^2 = (\frac{1}{2}\sin(2x))^2 = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Так как $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, то $\sin(2x) \neq 0$. Значит $\sin^2(2x) \in (0, 1]$.

Тогда $z = \frac{1}{4}\sin^2(2x) \in (0, \frac{1}{4}]$.

Рассмотрим функцию $h(z) = 5 - 2z + \frac{1-2z}{z^2} = 5 - 2z + \frac{1}{z^2} - \frac{2}{z}$ на промежутке $z \in (0, \frac{1}{4}]$.

Найдем ее производную: $h'(z) = -2 - \frac{2}{z^3} + \frac{2}{z^2} = \frac{-2z^3 + 2z - 2}{z^3} = -\frac{2(z^3 - z + 1)}{z^3}$.

Исследуем знак выражения $p(z) = z^3 - z + 1$ на $(0, \frac{1}{4}]$. Производная $p'(z) = 3z^2 - 1$. На интервале $(0, \frac{1}{4}]$, $p'(z)$ отрицательна, значит $p(z)$ убывает. Значение на правом конце $p(\frac{1}{4}) = (\frac{1}{4})^3 - \frac{1}{4} + 1 = \frac{1-16+64}{64} = \frac{49}{64} > 0$. Так как функция убывает и на правом конце положительна, она положительна на всем интервале $(0, \frac{1}{4}]$.

Следовательно, $h'(z) = -\frac{2(\text{положительное число})}{(\text{положительное число})} < 0$. Функция $h(z)$ убывает на $(0, \frac{1}{4}]$.

Ее наименьшее значение достигается при $z = \frac{1}{4}$.

$h_{min} = h(\frac{1}{4}) = 5 - 2(\frac{1}{4}) + \frac{1}{(\frac{1}{4})^2} - \frac{2}{\frac{1}{4}} = 5 - \frac{1}{2} + 16 - 8 = 12.5$.

Таким образом, для левой части справедливо неравенство: ЛЧ $\ge 12.5$.

Сопоставим результаты:

ЛЧ $\ge 12.5$

ПЧ $\le 12.5$

Равенство возможно, только если обе части равны 12.5.

$(\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x})^2 + (\cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x})^2 = 12.5$

$12 + \frac{1}{2}\sin y = 12.5$

Решим систему. Первое уравнение выполняется, когда ЛЧ принимает минимальное значение, то есть при $z = \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}$.

$\frac{1}{4}\sin^2(2x) = \frac{1}{4} \implies \sin^2(2x) = 1 \implies \sin(2x) = \pm 1$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения:

$\frac{1}{2}\sin y = 12.5 - 12 = 0.5 \implies \sin y = 1$.

$y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}; y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

33.30. Решите уравнение:

1) $(\sin(x - y) + 1)(2\cos(2x - y) + 1) = 6;$

2) $\tan^4 x + \tan^4 y + 2\cot^2 x \cot^2 y = 3 + \sin^2(x + y).$

1) $(\sin(x - y) + 1)(2\cos(2x - y) + 1) = 6$

Данное уравнение содержит две переменные, поэтому для его решения воспользуемся методом оценки. Оценим диапазон значений каждого множителя в левой части уравнения.

Для первого множителя: Известно, что область значений функции синус: $-1 \le \sin(x - y) \le 1$. Следовательно, для выражения $\sin(x - y) + 1$ имеем: $0 \le \sin(x - y) + 1 \le 2$.

Для второго множителя: Область значений функции косинус: $-1 \le \cos(2x - y) \le 1$. Умножим на 2: $-2 \le 2\cos(2x - y) \le 2$. Прибавим 1: $-1 \le 2\cos(2x - y) + 1 \le 3$.

Произведение двух множителей $(\sin(x - y) + 1)(2\cos(2x - y) + 1)$ может достигать своего максимального значения, равного $2 \cdot 3 = 6$. Поскольку в уравнении правая часть равна 6, равенство возможно только в том случае, когда оба множителя одновременно принимают свои максимальные значения.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} \sin(x - y) + 1 = 2 \\ 2\cos(2x - y) + 1 = 3 \end{cases}$

Упростим систему:

$\begin{cases} \sin(x - y) = 1 \\ \cos(2x - y) = 1 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения получаем:

$x - y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения получаем:

$2x - y = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь мы имеем систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ 2x - y = 2\pi n \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $x$:

$(2x - y) - (x - y) = 2\pi n - (\frac{\pi}{2} + 2\pi k)$

$x = 2\pi n - \frac{\pi}{2} - 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(n - k)$.

Теперь найдем $y$, выразив его из первого уравнения: $y = x - (\frac{\pi}{2} + 2\pi k)$. Подставим найденное значение $x$:

$y = (-\frac{\pi}{2} + 2\pi(n - k)) - (\frac{\pi}{2} + 2\pi k)$

$y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n - 2\pi k - \frac{\pi}{2} - 2\pi k$

$y = -\pi + 2\pi n - 4\pi k = -\pi + 2\pi(n - 2k)$.

Таким образом, решениями уравнения являются все пары $(x, y)$, где $k$ и $n$ - произвольные целые числа.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(n - k)$, $y = -\pi + 2\pi(n - 2k)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\text{tg}^4 x + \text{tg}^4 y + 2\text{ctg}^2 x \text{ctg}^2 y = 3 + \sin^2(x+y)$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями существования тангенса и котангенса: $x \ne \frac{\pi k}{2}$ и $y \ne \frac{\pi j}{2}$ для любых $k, j \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя тождество $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$:

$\text{tg}^4 x + \text{tg}^4 y + \frac{2}{\text{tg}^2 x \text{tg}^2 y}$

Оценим значения левой (ЛЧ) и правой (ПЧ) частей уравнения.

Для правой части: $0 \le \sin^2(x+y) \le 1$. Следовательно, $3 \le 3 + \sin^2(x+y) \le 4$. Таким образом, ПЧ $\le 4$.

Для левой части: Пусть $a = \text{tg}^2 x > 0$ и $b = \text{tg}^2 y > 0$. Тогда ЛЧ примет вид: $a^2 + b^2 + \frac{2}{ab}$. Воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Для четырех положительных чисел $a^2, b^2, \frac{1}{ab}, \frac{1}{ab}$ имеем:

$a^2 + b^2 + \frac{1}{ab} + \frac{1}{ab} \ge 4\sqrt[4]{a^2 \cdot b^2 \cdot \frac{1}{ab} \cdot \frac{1}{ab}} = 4\sqrt[4]{1} = 4$.

Таким образом, ЛЧ $\ge 4$.

Исходное уравнение ЛЧ = ПЧ может иметь решение только в том случае, когда обе части равны 4. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \text{tg}^4 x + \text{tg}^4 y + 2\text{ctg}^2 x \text{ctg}^2 y = 4 \\ 3 + \sin^2(x+y) = 4 \end{cases}$

Равенство в неравенстве Коши для ЛЧ достигается тогда и только тогда, когда все слагаемые равны: $a^2 = b^2 = \frac{1}{ab}$. Так как $a, b > 0$, то $a=b$. Подставляя это в равенство, получаем $a^2 = \frac{1}{a^2}$, откуда $a^4=1$. Так как $a>0$, то $a=1$. Следовательно, $a=b=1$, что означает $\text{tg}^2 x = 1$ и $\text{tg}^2 y = 1$.

Из второго уравнения системы: $\sin^2(x+y) = 1$.

Теперь решим полученную систему тригонометрических уравнений:

$\begin{cases} \text{tg}^2 x = 1 \\ \text{tg}^2 y = 1 \\ \sin^2(x+y) = 1 \end{cases}$

Из $\text{tg}^2 x = 1$ следует, что $\text{tg} x = \pm 1$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Из $\text{tg}^2 y = 1$ следует, что $\text{tg} y = \pm 1$, то есть $y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}j$, где $j \in \mathbb{Z}$. Из $\sin^2(x+y) = 1$ следует, что $\sin(x+y) = \pm 1$, то есть $x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим выражения для $x$ и $y$ в третье условие:

$(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k) + (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}j) = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}(k+j) = \frac{\pi}{2} + \pi n$

$\frac{1}{2}(k+j) = n \implies k+j = 2n$.

Это означает, что сумма целых чисел $k$ и $j$ должна быть четным числом. Это возможно, если $k$ и $j$ имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Рассмотрим эти случаи: 1. $k$ и $j$ - четные. $k=2m, j=2p$. $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, $y = \frac{\pi}{4} + \pi p$. В этом случае $\text{tg}x = 1$ и $\text{tg}y = 1$. 2. $k$ и $j$ - нечетные. $k=2m+1, j=2p+1$. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(2m+1) = \frac{3\pi}{4} + \pi m$. $y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(2p+1) = \frac{3\pi}{4} + \pi p$. В этом случае $\text{tg}x = -1$ и $\text{tg}y = -1$.

Объединяя оба случая, получаем две серии решений.

Ответ: $(x,y) = (\frac{\pi}{4} + \pi m, \frac{\pi}{4} + \pi p)$ и $(x,y) = (\frac{3\pi}{4} + \pi m, \frac{3\pi}{4} + \pi p)$, где $m, p \in \mathbb{Z}$.