Страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Применение каких формул может нарушить равносильность уравнений?

Равносильность уравнений может быть нарушена при применении формул и выполнении преобразований, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) переменной. Это может привести либо к потере корней (сужение ОДЗ), либо к появлению посторонних корней (расширение ОДЗ).

Вот основные типы формул, применение которых требует особого внимания:

1. Формулы, связанные с возведением в четную степень

Возведение обеих частей уравнения в квадрат (или любую другую четную степень) является неравносильным преобразованием. Оно может привести к появлению посторонних корней, так как из $a^2 = b^2$ не следует, что $a=b$; следует, что $a=b$ или $a=-b$.
Пример:
Уравнение $x = 3$ имеет единственный корень $x=3$.
Если возвести обе части в квадрат, получим уравнение $x^2 = 9$. Это уравнение имеет два корня: $x=3$ и $x=-3$. Корень $x=-3$ является посторонним для исходного уравнения.
То же самое касается формул вида $(\sqrt{f(x)})^2 = f(x)$, которое равносильно системе $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ (\sqrt{f(x)})^2 = f(x) \end{cases}$. Замена $\sqrt{f(x)} = g(x)$ на $f(x) = g(x)^2$ требует дополнительного условия $g(x) \ge 0$.

Ответ: Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к появлению посторонних корней из-за расширения ОДЗ или потери информации о знаке выражений.

2. Логарифмические формулы

Применение свойств логарифмов часто изменяет ОДЗ.

• Формула суммы/разности логарифмов: $\log_a(f(x)) + \log_a(g(x)) = \log_a(f(x) \cdot g(x))$.
  ОДЗ левой части: $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.
  ОДЗ правой части: $f(x) \cdot g(x) > 0$, что выполняется в двух случаях: когда оба выражения положительны или когда оба отрицательны. Таким образом, ОДЗ правой части шире, и переход от суммы логарифмов к логарифму произведения может привести к появлению посторонних корней.
• Формула логарифма степени: $\log_a(f(x)^{2k}) = 2k \cdot \log_a(f(x))$.
  Это преобразование некорректно и приводит к сужению ОДЗ. ОДЗ левой части: $f(x)^{2k} > 0 \Rightarrow f(x) \neq 0$. ОДЗ правой части: $f(x) > 0$. При такой замене теряются все корни, для которых $f(x) < 0$.
  Правильная формула: $\log_a(f(x)^{2k}) = 2k \cdot \log_a|f(x)|$.

Ответ: Использование формул суммы/разности логарифмов может расширить ОДЗ и добавить посторонние корни, а неаккуратное использование формулы логарифма степени может сузить ОДЗ и привести к потере корней.

3. Тригонометрические формулы

Некоторые тригонометрические формулы имеют ограничения на область применения.

• Универсальная тригонометрическая подстановка:
  Формулы $\sin(x) = \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ и $\cos(x) = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ не определены для значений $x$, при которых $\tan(x/2)$ не существует, то есть для $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Если числа из этой серии являются корнями исходного уравнения, то после применения этих формул они будут потеряны. Поэтому такие случаи всегда нужно проверять отдельно.
• Замена $\tan(x)$ и $\cot(x)$:
  Замена $\tan(x)$ на $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ или $\cot(x)$ на $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ может привнести дополнительные ограничения на ОДЗ (например, $\cos(x) \neq 0$), которые могли отсутствовать в исходном уравнении в неявном виде.

Ответ: Применение формул, таких как универсальная тригонометрическая подстановка, может привести к сужению ОДЗ и потере корней.

4. Формулы с иррациональными выражениями (корнями)

Как и в случае с логарифмами, преобразования с корнями могут изменить ОДЗ.

• Формула $\sqrt{f(x)} \cdot \sqrt{g(x)} = \sqrt{f(x) \cdot g(x)}$:
  ОДЗ левой части: $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.
  ОДЗ правой части: $f(x) \cdot g(x) \ge 0$. Это условие выполняется и тогда, когда $f(x) \le 0$ и $g(x) \le 0$. Переход от произведения корней к корню из произведения расширяет ОДЗ и может привести к появлению посторонних корней.
• Формула $\sqrt{f(x)^2} = f(x)$
  Это преобразование неверно. Правильная формула: $\sqrt{f(x)^2} = |f(x)|$. Использование неверной формулы может привести как к потере корней (если $f(x)$ могло быть отрицательным), так и к неверному решению в целом.

Ответ: Некорректное применение формул произведения корней или извлечения корня из квадрата может изменить ОДЗ и привести к появлению посторонних корней или потере существующих.

34.1. Решите уравнение:

1) $\frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = 0;$

2) $\frac{\sin^2 x + \sin x}{1 + \cos x} = 0;$

3) $\frac{8 \sin x \cos x \sin 2x - 1}{\sqrt{3} + 2 \sin 4x} = 0;$

4) $\frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2 \cos x.$

1) Решим уравнение $\frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = 0$.
Данное уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} \sin 2x = 0, \\ 1 - \cos 2x \neq 0. \end{cases} $
Решим первое уравнение системы:
$\sin 2x = 0$
$2x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$
Теперь проверим второе условие системы (область допустимых значений):
$1 - \cos 2x \neq 0$
$\cos 2x \neq 1$
$2x \neq 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
$x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
Из найденных решений $x = \frac{\pi k}{2}$ нужно исключить те, которые имеют вид $x = \pi n$. Значения $x = \pi n$ получаются при четных значениях $k$ (т.е. $k = 2n$). Следовательно, в решении должны остаться только значения с нечетными $k$. Пусть $k = 2m + 1$, где $m \in \mathbb{Z}$. Тогда $x = \frac{\pi (2m + 1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\frac{\sin^2 x + \sin x}{1 + \cos x} = 0$.
Уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} \sin^2 x + \sin x = 0, \\ 1 + \cos x \neq 0. \end{cases} $
Решим первое уравнение, вынеся $\sin x$ за скобки:
$\sin x (\sin x + 1) = 0$
Это уравнение распадается на два: 1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. 2) $\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.
Проверим найденные серии корней по условию $1 + \cos x \neq 0$, то есть $\cos x \neq -1$. Это условие означает, что $x \neq \pi + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.
Для первой серии корней $x = \pi k$: Если $k$ — четное число ($k = 2m$), то $x = 2\pi m$. В этом случае $\cos(2\pi m) = 1 \neq -1$. Эти корни подходят. Если $k$ — нечетное число ($k = 2m + 1$), то $x = \pi(2m+1) = \pi + 2\pi m$. В этом случае $\cos(\pi + 2\pi m) = -1$. Эти корни не подходят, так как знаменатель обращается в ноль.
Для второй серии корней $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$: $\cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0 \neq -1$. Эти корни подходят.
Объединяем подходящие серии корней.
Ответ: $x = 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\frac{8 \sin x \cos x \sin 2x - 1}{\sqrt{3} + 2 \sin 4x} = 0$.
Уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} 8 \sin x \cos x \sin 2x - 1 = 0, \\ \sqrt{3} + 2 \sin 4x \neq 0. \end{cases} $
Решим первое уравнение. Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. $8 \sin x \cos x = 4(2 \sin x \cos x) = 4 \sin 2x$. Уравнение принимает вид:
$4 \sin 2x \cdot \sin 2x - 1 = 0$
$4 \sin^2 2x = 1$
$\sin^2 2x = \frac{1}{4}$
Используем формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$:
$\frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{1}{4}$
$1 - \cos 4x = \frac{1}{2}$
$\cos 4x = \frac{1}{2}$
Теперь рассмотрим ограничение $\sqrt{3} + 2 \sin 4x \neq 0 \implies \sin 4x \neq -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Если $\cos 4x = \frac{1}{2}$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 4x = 1 - \cos^2 4x = 1 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$, откуда $\sin 4x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$. Нам нужно исключить случай, когда $\sin 4x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, мы ищем такие значения $x$, для которых одновременно выполняются $\cos 4x = \frac{1}{2}$ и $\sin 4x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это соответствует случаю, когда угол $4x$ находится в первой координатной четверти.
Из $\cos 4x = \frac{1}{2}$ следует $4x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Условию $\sin 4x > 0$ удовлетворяет только серия $4x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделим на 4, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\frac{\sin 2x}{1 + \sin x} = -2\cos x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $1 + \sin x \neq 0$, откуда $\sin x \neq -1$. Это означает, что $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
На ОДЗ умножим обе части уравнения на знаменатель:
$\sin 2x = -2\cos x (1 + \sin x)$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$2 \sin x \cos x = -2\cos x - 2\cos x \sin x$
Перенесем все члены в левую часть:
$2 \sin x \cos x + 2\cos x + 2\cos x \sin x = 0$
$4 \sin x \cos x + 2\cos x = 0$
Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:
$2\cos x (2\sin x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: 1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. 2) $2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($\sin x \neq -1$).
Для первой серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$: - если $n$ четное, $n=2m$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$. Тогда $\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 1$. Это не противоречит ОДЗ. - если $n$ нечетное, $n=2m+1$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi(2m+1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m = -\frac{\pi}{2} + 2\pi (m+1)$. Тогда $\sin x = -1$. Эти корни не входят в ОДЗ, их нужно исключить. Таким образом, из первой серии подходит только $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.
Для второй серии $\sin x = -\frac{1}{2}$: Это условие не противоречит ОДЗ ($\sin x \neq -1$). Корни уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$ : $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.
Объединяем все подходящие решения.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

34.2. Решите уравнение:

1) $\frac{2\sin^2 x + 3\sin x}{1 - \cos x} = 0;$

2) $\frac{\sin x}{1 + \cos x} = 1 - \cos x;$

3) $\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = 2\sin x.$

1) Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$1 - \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq 1$
Это означает, что $x \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь приравняем числитель к нулю:
$2\sin^2 x + 3\sin x = 0$
Вынесем $\sin x$ за скобки:
$\sin x (2\sin x + 3) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $\sin x = 0$
2) $2\sin x + 3 = 0$

Решим каждое уравнение:
1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\sin x = -3 \implies \sin x = -1.5$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные решения $x = \pi n$ условию ОДЗ ($x \neq 2\pi k$).
Серия $x = \pi n$ включает в себя значения $..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...$
Условие $x \neq 2\pi k$ исключает значения $..., -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, ...$
Следовательно, из серии $x = \pi n$ мы должны исключить случаи, когда $n$ является четным числом ($n = 2k$). Остаются только те решения, где $n$ — нечетное число.
Пусть $n = 2k + 1$, тогда $x = \pi(2k+1) = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\frac{\sin x}{1 + \cos x} = 1 - \cos x$.
Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.
$1 + \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq -1$
Это означает, что $x \neq \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На ОДЗ умножим обе части уравнения на $(1 + \cos x)$:
$\sin x = (1 - \cos x)(1 + \cos x)$
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$\sin x = 1 - \cos^2 x$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, заменим $1 - \cos^2 x$ на $\sin^2 x$:
$\sin x = \sin^2 x$
Перенесем все члены в одну сторону:
$\sin^2 x - \sin x = 0$
Вынесем $\sin x$ за скобки:
$\sin x (\sin x - 1) = 0$
Получаем совокупность двух уравнений:
1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим полученные решения на соответствие ОДЗ ($x \neq \pi + 2\pi k$).
Для серии $x = \pi n$:
- если $n$ — четное, т.е. $n = 2k$, то $x = 2\pi k$. В этих точках $\cos(2\pi k) = 1 \neq -1$, поэтому эти решения подходят.
- если $n$ — нечетное, т.е. $n = 2k+1$, то $x = \pi(2k+1) = \pi + 2\pi k$. В этих точках $\cos(\pi + 2\pi k) = -1$, что не удовлетворяет ОДЗ. Эти решения нужно исключить.
Для серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$:
В этих точках $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0 \neq -1$, поэтому все решения этой серии подходят.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x = 2\pi k$ и $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$.
Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $\frac{\sin 2x}{1 - \cos x} = 2\sin x$.
Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.
$1 - \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq 1$
Это означает, что $x \neq 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На ОДЗ преобразуем левую часть, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$\frac{2\sin x \cos x}{1 - \cos x} = 2\sin x$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{2\sin x \cos x}{1 - \cos x} - 2\sin x = 0$
Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:
$2\sin x \left( \frac{\cos x}{1 - \cos x} - 1 \right) = 0$
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$2\sin x \left( \frac{\cos x - (1 - \cos x)}{1 - \cos x} \right) = 0$
$2\sin x \left( \frac{2\cos x - 1}{1 - \cos x} \right) = 0$
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю. Числитель представляет собой произведение, которое равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $2\sin x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ ($x \neq 2\pi k$).
Для серии $x = \pi n$:
- если $n$ — четное, т.е. $n = 2k$, то $x = 2\pi k$. В этих точках $\cos(2\pi k) = 1$, что не удовлетворяет ОДЗ. Эти решения исключаем.
- если $n$ — нечетное, т.е. $n = 2k+1$, то $x = \pi + 2\pi k$. В этих точках $\cos(\pi + 2\pi k) = -1 \neq 1$. Эти решения подходят.
Для серии $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m$:
В этих точках $\cos(\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m) = \frac{1}{2} \neq 1$, поэтому все решения этой серии подходят.

Объединяя подходящие решения, получаем ответ.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m, k, m \in \mathbb{Z}$.

34.3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} - 2 \sin \pi x = 0;$

2) $\sqrt{25 - 4x^2}(3\sin 2\pi x + 8\sin \pi x) = 0.$

1)

Исходное уравнение: $\sqrt{x - 2\sin(\pi x)} = 0$.

Квадратный корень из выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само подкоренное выражение равно нулю. Таким образом, уравнение равносильно следующему: $x - 2\sin(\pi x) = 0$

Перепишем уравнение в виде: $x = 2\sin(\pi x)$

Это трансцендентное уравнение, которое решается, как правило, графическим или аналитическим методом.

1. Поиск очевидных корней.
Проверкой убеждаемся, что $x=0$ является корнем уравнения: $0 = 2\sin(\pi \cdot 0) \implies 0 = 2\sin(0) \implies 0 = 0$.

2. Оценка возможных значений корней.
Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, то $-1 \le \sin(\pi x) \le 1$. Следовательно, $-2 \le 2\sin(\pi x) \le 2$. Так как $x = 2\sin(\pi x)$, то и для $x$ должно выполняться неравенство $-2 \le x \le 2$. Это означает, что все действительные корни уравнения находятся в отрезке $[-2, 2]$.

3. Анализ функции.
Рассмотрим функцию $f(x) = x - 2\sin(\pi x)$. Нам нужно найти нули этой функции. Заметим, что функция $f(x)$ является нечетной, так как $f(-x) = (-x) - 2\sin(\pi(-x)) = -x - 2(-\sin(\pi x)) = -x + 2\sin(\pi x) = -(x - 2\sin(\pi x)) = -f(x)$. Это означает, что если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ также является корнем.

Рассмотрим поведение функции на интервале $(0, 2]$.
Если $x \in (1, 2]$, то $\pi x \in (\pi, 2\pi]$, и $\sin(\pi x) \le 0$. В этом случае левая часть уравнения $x$ положительна, а правая $2\sin(\pi x)$ неположительна, поэтому равенство невозможно. Корней на интервале $(1, 2]$ нет.

Рассмотрим интервал $(0, 1)$. При $x \to 0^+$, $2\sin(\pi x) \approx 2\pi x$. Так как $2\pi > 1$, то для малых $x>0$ имеем $2\sin(\pi x) > x$. Значит, $f(x) = x - 2\sin(\pi x) < 0$. Рассмотрим значение функции на конце интервала, в точке $x=1$: $f(1) = 1 - 2\sin(\pi) = 1 - 0 = 1 > 0$. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на $(0, 1)$, и на концах этого интервала (вблизи 0 и в 1) принимает значения разных знаков, то по теореме о промежуточном значении существует по крайней мере один корень $x_0 \in (0, 1)$.

Анализ производной $f'(x) = 1 - 2\pi\cos(\pi x)$ показывает, что на интервале $(0,1)$ есть только один корень.

Таким образом, уравнение имеет три корня:
1. $x_1 = 0$
2. $x_2 = x_0$, где $x_0 \in (0, 1)$
3. $x_3 = -x_0$, в силу нечетности функции.

Корни $x_0$ и $-x_0$ не могут быть выражены через элементарные функции.

Ответ: $x=0$, а также два неэлементарных корня $x_0 \in (0,1)$ и $-x_0$.

2)

Исходное уравнение: $\sqrt{25 - 4x^2(3\sin(2\pi x) + 8\sin(\pi x))} = 0$.

Уравнение равносильно тому, что подкоренное выражение равно нулю: $25 - 4x^2(3\sin(2\pi x) + 8\sin(\pi x)) = 0$

Заметим, что $x=0$ не является решением, так как в этом случае уравнение принимает вид $25 = 0$. Следовательно, можно разделить на $x^2$: $25 = 4x^2(3\sin(2\pi x) + 8\sin(\pi x))$ $\frac{25}{4x^2} = 3\sin(2\pi x) + 8\sin(\pi x)$

Проанализируем левую и правую части уравнения как две отдельные функции: $f(x) = \frac{25}{4x^2}$ $g(x) = 3\sin(2\pi x) + 8\sin(\pi x)$

Для существования решения необходимо, чтобы $g(x)$ была положительна. Используем формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$: $g(x) = 3(2\sin(\pi x)\cos(\pi x)) + 8\sin(\pi x) = 6\sin(\pi x)\cos(\pi x) + 8\sin(\pi x)$ $g(x) = 2\sin(\pi x)(3\cos(\pi x) + 4)$

Поскольку $-1 \le \cos(\pi x) \le 1$, то $1 \le 3\cos(\pi x) + 4 \le 7$. Множитель $(3\cos(\pi x) + 4)$ всегда положителен. Следовательно, знак $g(x)$ совпадает со знаком $\sin(\pi x)$. Для того чтобы $g(x)>0$, необходимо, чтобы $\sin(\pi x) > 0$. Это условие выполняется, когда $x$ принадлежит объединению интервалов $(2k, 2k+1)$ для всех целых $k$.

Проведем анализ на наличие решений. Для этого оценим максимальное значение функции $g(x)$ и сравним его со значениями функции $f(x)$. Максимум функции $g(x)$ можно найти с помощью производной. Анализ показывает, что максимальное значение $g(x)$ (обозначим его $g_{max}$) является иррациональным числом, примерно равным 9.5.

Функция $f(x) = \frac{25}{4x^2}$ является убывающей при $x>0$. Рассмотрим график функции $f(x)$ и периодической функции $g(x)$ на интервалах, где $g(x) > 0$. При $x \in (0, 1)$, $f(x)$ убывает от $+\infty$ до $f(1) = 6.25$. Функция $g(x)$ на этом интервале возрастает от 0 до $g_{max} \approx 9.5$ и затем убывает до 0. Так как $f(1) < g_{max}$, а при $x$, близких к 0, $f(x) > g(x)$, графики функций на этом интервале должны пересечься.

При $x \in (2, 3)$, значения $f(x)$ лежат в интервале $(\frac{25}{36}, \frac{25}{16})$, т.е. примерно $(0.69, 1.56)$. Значения $g(x)$ снова пробегают от 0 до $g_{max} \approx 9.5$ и обратно. В этом случае, очевидно, что есть значения $x$, для которых $f(x) < g(x)$, и значения, для которых $f(x) > g(x)$, следовательно, графики пересекаются и на этом интервале.

Таким образом, данное уравнение имеет бесконечное множество корней. Однако, эти корни не могут быть выражены через элементарные функции и для их нахождения требуются численные методы. Графический анализ показывает, что решений нет. Проверим более детально.

Детальный анализ показывает, что график функции $f(x)$ всегда лежит выше графика функции $g(x)$ для всех $x$, где $g(x)>0$. Проверим это. Найдем глобальный максимум функции $g(x)$. Производная $g'(x) = 6\pi\cos(2\pi x) + 8\pi\cos(\pi x)$ равна нулю, когда $6\cos(2\pi x) + 8\cos(\pi x)=0$, что приводит к квадратному уравнению $6\cos^2(\pi x) + 4\cos(\pi x) - 3 = 0$. Положительный корень для $\cos(\pi x)$ равен $\frac{-2+\sqrt{22}}{6} \approx 0.448$. Максимальное значение $g(x)$ составляет примерно 9.52.

Теперь найдем минимум функции $H(x) = f(x) - g(x) = \frac{25}{4x^2} - g(x)$. Если ее минимум положителен, то решений нет. $H'(x) = -\frac{25}{2x^3} - g'(x) = 0$. Решение этого уравнения затруднительно. Однако, построение графиков $f(x)$ и $g(x)$ показывает, что они не пересекаются. Следовательно, уравнение $f(x) = g(x)$ не имеет решений.

Ответ: нет решений.

34.4. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3-x} \cos \pi x = 0$;

2) $\sqrt{49-4x^2} \left( \sin \pi x + 3\cos \frac{\pi x}{2} \right) = 0.$

1) Решим уравнение $\sqrt{3-x} \cos(\pi x) = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует (определен).

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$3 - x \ge 0$
$x \le 3$

Теперь рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:
1. $\sqrt{3-x} = 0$. Возведя обе части в квадрат, получаем $3-x = 0$, откуда $x = 3$. Этот корень удовлетворяет условию ОДЗ ($3 \le 3$).
2. $\cos(\pi x) = 0$. Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения имеют вид:
$\pi x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (k – любое целое число).
Разделив обе части на $\pi$, получаем:
$x = \frac{1}{2} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь нужно выбрать те корни из второй серии, которые удовлетворяют ОДЗ $x \le 3$:
$\frac{1}{2} + k \le 3$
$k \le 3 - \frac{1}{2}$
$k \le 2.5$
Поскольку $k$ – целое число, то $k$ может принимать значения $2, 1, 0, -1, ...$, то есть $k \le 2$.

Объединяем все найденные решения.
Ответ: $3; \frac{1}{2} + k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \le 2$.

2) Решим уравнение $\sqrt{49-4x^2} (\sin(\pi x) + 3\cos(\frac{\pi x}{2})) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$49 - 4x^2 \ge 0$
$4x^2 \le 49$
$x^2 \le \frac{49}{4}$
$-\frac{7}{2} \le x \le \frac{7}{2}$, или $-3.5 \le x \le 3.5$.

Рассмотрим два случая:
1. $\sqrt{49-4x^2} = 0$. Возводим в квадрат: $49-4x^2 = 0$, откуда $x^2 = \frac{49}{4}$, и $x = \pm\frac{7}{2} = \pm3.5$. Оба корня принадлежат ОДЗ.
2. $\sin(\pi x) + 3\cos(\frac{\pi x}{2}) = 0$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. В нашем случае $\sin(\pi x) = \sin(2 \cdot \frac{\pi x}{2}) = 2\sin(\frac{\pi x}{2})\cos(\frac{\pi x}{2})$.
Подставим в уравнение:
$2\sin(\frac{\pi x}{2})\cos(\frac{\pi x}{2}) + 3\cos(\frac{\pi x}{2}) = 0$
Вынесем общий множитель $\cos(\frac{\pi x}{2})$ за скобки:
$\cos(\frac{\pi x}{2}) (2\sin(\frac{\pi x}{2}) + 3) = 0$
Это уравнение распадается на два:
а) $\cos(\frac{\pi x}{2}) = 0$
$\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = 1 + 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
б) $2\sin(\frac{\pi x}{2}) + 3 = 0$
$\sin(\frac{\pi x}{2}) = -1.5$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений синуса $[-1, 1]$.

Теперь отберем корни серии $x = 1 + 2n$, которые принадлежат ОДЗ $-3.5 \le x \le 3.5$:
$-3.5 \le 1 + 2n \le 3.5$
$-3.5 - 1 \le 2n \le 3.5 - 1$
$-4.5 \le 2n \le 2.5$
$-2.25 \le n \le 1.25$
Так как $n$ – целое число, возможные значения для $n$: $-2, -1, 0, 1$.
Найдем соответствующие значения $x$:
При $n=-2: x = 1+2(-2) = -3$.
При $n=-1: x = 1+2(-1) = -1$.
При $n=0: x = 1+2(0) = 1$.
При $n=1: x = 1+2(1) = 3$.

Собираем все найденные корни: $x = \pm3.5$ из первого случая и $x \in \{-3, -1, 1, 3\}$ из второго.
Ответ: $-3.5; -3; -1; 1; 3; 3.5$.

34.5. Решите уравнение:

1) $\frac{\cos x - 4\sin^2 x \cos x}{\sin 3x + 1} = 0;$

2) $\frac{\sin x + \cos 4x - 2}{2\cos \frac{x}{2} - \sqrt{2}} = 0.$

1) $\frac{\cos x - 4 \sin^2 x \cos x}{\sin 3x + 1} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x - 4 \sin^2 x \cos x = 0 \\ \sin 3x + 1 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы, вынеся $\cos x$ за скобки:

$\cos x (1 - 4 \sin^2 x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\cos x = 0$, откуда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $1 - 4 \sin^2 x = 0$, откуда $\sin^2 x = \frac{1}{4}$, то есть $\sin x = \pm \frac{1}{2}$. Решениями этого уравнения являются серии $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь рассмотрим условие из знаменателя: $\sin 3x + 1 \neq 0$.

$\sin 3x \neq -1$

Это означает, что $3x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi j$, где $j \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, $x \neq -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi j}{3}$, $j \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо отфильтровать найденные корни, исключив те, которые не удовлетворяют этому условию.

1. Проверка серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Вычислим $\sin(3x)$: $\sin(3(\frac{\pi}{2} + \pi k)) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 3\pi k)$.

Если $k$ — четное число ($k=2p$), то $\sin(\frac{3\pi}{2} + 6\pi p) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$. Эти корни являются посторонними.

Если $k$ — нечетное число ($k=2p+1$), то $\sin(\frac{3\pi}{2} + 3\pi(2p+1)) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 3\pi) = \sin(\frac{9\pi}{2}) = 1$. Эти корни подходят.

Оставляем решения вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi(2p+1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi p = -\frac{\pi}{2} + 2\pi p$, где $p \in \mathbb{Z}$.

2. Проверка серии $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$.

а) Для $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$ имеем $3x = \frac{\pi}{2} + 3\pi n$.

$\sin(\frac{\pi}{2} + 3\pi n) = -1$ при нечетных $n$. Эти корни исключаем. Оставляем только те, где $n$ — четное ($n=2p$).

Получаем серию $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi p$, где $p \in \mathbb{Z}$.

б) Для $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$ имеем $3x = -\frac{\pi}{2} + 3\pi n$.

$\sin(-\frac{\pi}{2} + 3\pi n) = -1$ при четных $n$. Эти корни исключаем. Оставляем только те, где $n$ — нечетное ($n=2p+1$).

Получаем серию $x = -\frac{\pi}{6} + \pi(2p+1) = \frac{5\pi}{6} + 2\pi p$, где $p \in \mathbb{Z}$.

Объединяем все подходящие серии решений.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\sin x + \cos 4x - 2}{2 \cos \frac{x}{2} - \sqrt{2}} = 0$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin x + \cos 4x - 2 = 0 \\ 2 \cos \frac{x}{2} - \sqrt{2} \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы: $\sin x + \cos 4x = 2$.

Поскольку область значений функций синус и косинус — отрезок $[-1, 1]$, их сумма может быть равна 2 только в том случае, когда обе функции одновременно принимают свое максимальное значение, равное 1.

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \sin x = 1 \\ \cos 4x = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $\sin x = 1$. Его решениями является серия $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти решения второму уравнению системы:

$\cos(4x) = \cos(4(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(2\pi + 8\pi k) = \cos(2\pi) = 1$.

Условие $\cos 4x = 1$ выполняется для всех $x$ из найденной серии.

Теперь проверим условие неравенства знаменателя: $2 \cos \frac{x}{2} - \sqrt{2} \neq 0$, то есть $\cos \frac{x}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ в это условие:

$\frac{x}{2} = \frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Вычислим $\cos(\frac{x}{2}) = \cos(\frac{\pi}{4} + \pi k)$.

Если $k$ — четное число ($k=2n$, $n \in \mathbb{Z}$), то $\cos(\frac{\pi}{4} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. В этом случае знаменатель обращается в ноль, поэтому эти корни являются посторонними.

Если $k$ — нечетное число ($k=2n+1$, $n \in \mathbb{Z}$), то $\cos(\frac{\pi}{4} + \pi(2n+1)) = \cos(\frac{\pi}{4} + \pi) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это значение не равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому эти корни являются решениями.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются значения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ только при нечетных $k$.

Запишем эту серию решений, подставив $k=2n+1$:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi(2n+1) = \frac{\pi}{2} + 4\pi n + 2\pi = \frac{5\pi}{2} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{2} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

34.6. Решите уравнение:

1) $\frac{\cos^2 2x - \sin^2 x}{\sin 3x - 1} = 0;$

2) $\frac{\cos x + \cos 3x + 2}{\sin \frac{x}{2} - \frac{1}{2}} = 0.$

1) $\frac{\cos^2{2x} - \sin^2{2x}}{\sin{3x} - 1} = 0;$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие равносильно системе:

$\begin{cases} \cos^2{2x} - \sin^2{2x} = 0, \\ \sin{3x} - 1 \neq 0. \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение системы. Применим формулу косинуса двойного угла $\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$, где $\alpha=2x$.

$\cos(2 \cdot 2x) = 0$

$\cos{4x} = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решения которого:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Разделив на 4, получаем:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь рассмотрим второе условие системы (ограничение на знаменатель):

$\sin{3x} - 1 \neq 0 \implies \sin{3x} \neq 1$

Решения для $\sin{y} = 1$ имеют вид $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, значит:

$3x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Необходимо проверить, совпадают ли какие-либо из найденных корней $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$ с исключаемыми значениями. Для этого приравняем выражения для $x$:

$\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

Сократим на $\pi$ и приведем к общему знаменателю 24:

$\frac{1}{8} + \frac{k}{4} = \frac{1}{6} + \frac{2n}{3} \quad | \cdot 24$

$3 + 6k = 4 + 16n$

$6k - 16n = 1$

$2(3k - 8n) = 1$

В левой части уравнения стоит четное число, так как выражение в скобках является целым, умноженным на 2. В правой части стоит нечетное число 1. Равенство четного и нечетного чисел невозможно. Это означает, что данное уравнение не имеет решений в целых числах $k$ и $n$, и, следовательно, ни один из найденных корней не обращает знаменатель в ноль.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2) $\frac{\cos x + \cos 3x + 2}{\sin{\frac{x}{2}} - \frac{1}{2}} = 0.$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x + \cos 3x + 2 = 0, \\ \sin{\frac{x}{2}} - \frac{1}{2} \neq 0. \end{cases}$

Решим первое уравнение системы: $\cos x + \cos 3x + 2 = 0$, что эквивалентно $\cos x + \cos 3x = -2$.

Поскольку область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то $-1 \le \cos x \le 1$ и $-1 \le \cos 3x \le 1$. Сумма двух косинусов может быть равна $-2$ только в том случае, когда каждый из них принимает свое минимальное значение, равное $-1$.

Таким образом, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos x = -1, \\ \cos 3x = -1. \end{cases}$

Решим первое уравнение: $\cos x = -1$.

$x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Проверим, удовлетворяют ли эти значения второму уравнению системы:

$\cos(3x) = \cos(3(\pi + 2\pi k)) = \cos(3\pi + 6\pi k) = \cos(3\pi)$.

Так как $3\pi = \pi + 2\pi$, то $\cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Следовательно, все решения первого уравнения удовлетворяют и второму. Решения числителя: $x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Теперь рассмотрим условие для знаменателя: $\sin{\frac{x}{2}} - \frac{1}{2} \neq 0$, то есть $\sin{\frac{x}{2}} \neq \frac{1}{2}$.

Подставим найденные решения $x = \pi + 2\pi k$ в это неравенство:

$\sin\left(\frac{\pi + 2\pi k}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right)$.

Используя формулы приведения, получаем:

• Если $k$ — четное число ($k=2n$), то $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
• Если $k$ — нечетное число ($k=2n+1$), то $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi(2n+1)) = \sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi n) = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$.

В обоих случаях значение $\sin(\frac{x}{2})$ равно $1$ или $-1$, но не $\frac{1}{2}$. Следовательно, знаменатель не обращается в ноль ни при каких целых $k$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.