Вопросы?, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Применение каких формул может нарушить равносильность уравнений?

Равносильность уравнений может быть нарушена при применении формул и выполнении преобразований, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) переменной. Это может привести либо к потере корней (сужение ОДЗ), либо к появлению посторонних корней (расширение ОДЗ).

Вот основные типы формул, применение которых требует особого внимания:

1. Формулы, связанные с возведением в четную степень

Возведение обеих частей уравнения в квадрат (или любую другую четную степень) является неравносильным преобразованием. Оно может привести к появлению посторонних корней, так как из $a^2 = b^2$ не следует, что $a=b$; следует, что $a=b$ или $a=-b$.
Пример:
Уравнение $x = 3$ имеет единственный корень $x=3$.
Если возвести обе части в квадрат, получим уравнение $x^2 = 9$. Это уравнение имеет два корня: $x=3$ и $x=-3$. Корень $x=-3$ является посторонним для исходного уравнения.
То же самое касается формул вида $(\sqrt{f(x)})^2 = f(x)$, которое равносильно системе $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ (\sqrt{f(x)})^2 = f(x) \end{cases}$. Замена $\sqrt{f(x)} = g(x)$ на $f(x) = g(x)^2$ требует дополнительного условия $g(x) \ge 0$.

Ответ: Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к появлению посторонних корней из-за расширения ОДЗ или потери информации о знаке выражений.

2. Логарифмические формулы

Применение свойств логарифмов часто изменяет ОДЗ.

• Формула суммы/разности логарифмов: $\log_a(f(x)) + \log_a(g(x)) = \log_a(f(x) \cdot g(x))$.
  ОДЗ левой части: $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.
  ОДЗ правой части: $f(x) \cdot g(x) > 0$, что выполняется в двух случаях: когда оба выражения положительны или когда оба отрицательны. Таким образом, ОДЗ правой части шире, и переход от суммы логарифмов к логарифму произведения может привести к появлению посторонних корней.
• Формула логарифма степени: $\log_a(f(x)^{2k}) = 2k \cdot \log_a(f(x))$.
  Это преобразование некорректно и приводит к сужению ОДЗ. ОДЗ левой части: $f(x)^{2k} > 0 \Rightarrow f(x) \neq 0$. ОДЗ правой части: $f(x) > 0$. При такой замене теряются все корни, для которых $f(x) < 0$.
  Правильная формула: $\log_a(f(x)^{2k}) = 2k \cdot \log_a|f(x)|$.

Ответ: Использование формул суммы/разности логарифмов может расширить ОДЗ и добавить посторонние корни, а неаккуратное использование формулы логарифма степени может сузить ОДЗ и привести к потере корней.

3. Тригонометрические формулы

Некоторые тригонометрические формулы имеют ограничения на область применения.

• Универсальная тригонометрическая подстановка:
  Формулы $\sin(x) = \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ и $\cos(x) = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ не определены для значений $x$, при которых $\tan(x/2)$ не существует, то есть для $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Если числа из этой серии являются корнями исходного уравнения, то после применения этих формул они будут потеряны. Поэтому такие случаи всегда нужно проверять отдельно.
• Замена $\tan(x)$ и $\cot(x)$:
  Замена $\tan(x)$ на $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ или $\cot(x)$ на $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ может привнести дополнительные ограничения на ОДЗ (например, $\cos(x) \neq 0$), которые могли отсутствовать в исходном уравнении в неявном виде.

Ответ: Применение формул, таких как универсальная тригонометрическая подстановка, может привести к сужению ОДЗ и потере корней.

4. Формулы с иррациональными выражениями (корнями)

Как и в случае с логарифмами, преобразования с корнями могут изменить ОДЗ.

• Формула $\sqrt{f(x)} \cdot \sqrt{g(x)} = \sqrt{f(x) \cdot g(x)}$:
  ОДЗ левой части: $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.
  ОДЗ правой части: $f(x) \cdot g(x) \ge 0$. Это условие выполняется и тогда, когда $f(x) \le 0$ и $g(x) \le 0$. Переход от произведения корней к корню из произведения расширяет ОДЗ и может привести к появлению посторонних корней.
• Формула $\sqrt{f(x)^2} = f(x)$
  Это преобразование неверно. Правильная формула: $\sqrt{f(x)^2} = |f(x)|$. Использование неверной формулы может привести как к потере корней (если $f(x)$ могло быть отрицательным), так и к неверному решению в целом.

Ответ: Некорректное применение формул произведения корней или извлечения корня из квадрата может изменить ОДЗ и привести к появлению посторонних корней или потере существующих.