Номер 34.3, страница 249 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} - 2 \sin \pi x = 0;$

2) $\sqrt{25 - 4x^2}(3\sin 2\pi x + 8\sin \pi x) = 0.$

1)

Исходное уравнение: $\sqrt{x - 2\sin(\pi x)} = 0$.

Квадратный корень из выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само подкоренное выражение равно нулю. Таким образом, уравнение равносильно следующему: $x - 2\sin(\pi x) = 0$

Перепишем уравнение в виде: $x = 2\sin(\pi x)$

Это трансцендентное уравнение, которое решается, как правило, графическим или аналитическим методом.

1. Поиск очевидных корней.
Проверкой убеждаемся, что $x=0$ является корнем уравнения: $0 = 2\sin(\pi \cdot 0) \implies 0 = 2\sin(0) \implies 0 = 0$.

2. Оценка возможных значений корней.
Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, то $-1 \le \sin(\pi x) \le 1$. Следовательно, $-2 \le 2\sin(\pi x) \le 2$. Так как $x = 2\sin(\pi x)$, то и для $x$ должно выполняться неравенство $-2 \le x \le 2$. Это означает, что все действительные корни уравнения находятся в отрезке $[-2, 2]$.

3. Анализ функции.
Рассмотрим функцию $f(x) = x - 2\sin(\pi x)$. Нам нужно найти нули этой функции. Заметим, что функция $f(x)$ является нечетной, так как $f(-x) = (-x) - 2\sin(\pi(-x)) = -x - 2(-\sin(\pi x)) = -x + 2\sin(\pi x) = -(x - 2\sin(\pi x)) = -f(x)$. Это означает, что если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ также является корнем.

Рассмотрим поведение функции на интервале $(0, 2]$.
Если $x \in (1, 2]$, то $\pi x \in (\pi, 2\pi]$, и $\sin(\pi x) \le 0$. В этом случае левая часть уравнения $x$ положительна, а правая $2\sin(\pi x)$ неположительна, поэтому равенство невозможно. Корней на интервале $(1, 2]$ нет.

Рассмотрим интервал $(0, 1)$. При $x \to 0^+$, $2\sin(\pi x) \approx 2\pi x$. Так как $2\pi > 1$, то для малых $x>0$ имеем $2\sin(\pi x) > x$. Значит, $f(x) = x - 2\sin(\pi x) < 0$. Рассмотрим значение функции на конце интервала, в точке $x=1$: $f(1) = 1 - 2\sin(\pi) = 1 - 0 = 1 > 0$. Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на $(0, 1)$, и на концах этого интервала (вблизи 0 и в 1) принимает значения разных знаков, то по теореме о промежуточном значении существует по крайней мере один корень $x_0 \in (0, 1)$.

Анализ производной $f'(x) = 1 - 2\pi\cos(\pi x)$ показывает, что на интервале $(0,1)$ есть только один корень.

Таким образом, уравнение имеет три корня:
1. $x_1 = 0$
2. $x_2 = x_0$, где $x_0 \in (0, 1)$
3. $x_3 = -x_0$, в силу нечетности функции.

Корни $x_0$ и $-x_0$ не могут быть выражены через элементарные функции.

Ответ: $x=0$, а также два неэлементарных корня $x_0 \in (0,1)$ и $-x_0$.

2)

Исходное уравнение: $\sqrt{25 - 4x^2(3\sin(2\pi x) + 8\sin(\pi x))} = 0$.

Уравнение равносильно тому, что подкоренное выражение равно нулю: $25 - 4x^2(3\sin(2\pi x) + 8\sin(\pi x)) = 0$

Заметим, что $x=0$ не является решением, так как в этом случае уравнение принимает вид $25 = 0$. Следовательно, можно разделить на $x^2$: $25 = 4x^2(3\sin(2\pi x) + 8\sin(\pi x))$ $\frac{25}{4x^2} = 3\sin(2\pi x) + 8\sin(\pi x)$

Проанализируем левую и правую части уравнения как две отдельные функции: $f(x) = \frac{25}{4x^2}$ $g(x) = 3\sin(2\pi x) + 8\sin(\pi x)$

Для существования решения необходимо, чтобы $g(x)$ была положительна. Используем формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$: $g(x) = 3(2\sin(\pi x)\cos(\pi x)) + 8\sin(\pi x) = 6\sin(\pi x)\cos(\pi x) + 8\sin(\pi x)$ $g(x) = 2\sin(\pi x)(3\cos(\pi x) + 4)$

Поскольку $-1 \le \cos(\pi x) \le 1$, то $1 \le 3\cos(\pi x) + 4 \le 7$. Множитель $(3\cos(\pi x) + 4)$ всегда положителен. Следовательно, знак $g(x)$ совпадает со знаком $\sin(\pi x)$. Для того чтобы $g(x)>0$, необходимо, чтобы $\sin(\pi x) > 0$. Это условие выполняется, когда $x$ принадлежит объединению интервалов $(2k, 2k+1)$ для всех целых $k$.

Проведем анализ на наличие решений. Для этого оценим максимальное значение функции $g(x)$ и сравним его со значениями функции $f(x)$. Максимум функции $g(x)$ можно найти с помощью производной. Анализ показывает, что максимальное значение $g(x)$ (обозначим его $g_{max}$) является иррациональным числом, примерно равным 9.5.

Функция $f(x) = \frac{25}{4x^2}$ является убывающей при $x>0$. Рассмотрим график функции $f(x)$ и периодической функции $g(x)$ на интервалах, где $g(x) > 0$. При $x \in (0, 1)$, $f(x)$ убывает от $+\infty$ до $f(1) = 6.25$. Функция $g(x)$ на этом интервале возрастает от 0 до $g_{max} \approx 9.5$ и затем убывает до 0. Так как $f(1) < g_{max}$, а при $x$, близких к 0, $f(x) > g(x)$, графики функций на этом интервале должны пересечься.

При $x \in (2, 3)$, значения $f(x)$ лежат в интервале $(\frac{25}{36}, \frac{25}{16})$, т.е. примерно $(0.69, 1.56)$. Значения $g(x)$ снова пробегают от 0 до $g_{max} \approx 9.5$ и обратно. В этом случае, очевидно, что есть значения $x$, для которых $f(x) < g(x)$, и значения, для которых $f(x) > g(x)$, следовательно, графики пересекаются и на этом интервале.

Таким образом, данное уравнение имеет бесконечное множество корней. Однако, эти корни не могут быть выражены через элементарные функции и для их нахождения требуются численные методы. Графический анализ показывает, что решений нет. Проверим более детально.

Детальный анализ показывает, что график функции $f(x)$ всегда лежит выше графика функции $g(x)$ для всех $x$, где $g(x)>0$. Проверим это. Найдем глобальный максимум функции $g(x)$. Производная $g'(x) = 6\pi\cos(2\pi x) + 8\pi\cos(\pi x)$ равна нулю, когда $6\cos(2\pi x) + 8\cos(\pi x)=0$, что приводит к квадратному уравнению $6\cos^2(\pi x) + 4\cos(\pi x) - 3 = 0$. Положительный корень для $\cos(\pi x)$ равен $\frac{-2+\sqrt{22}}{6} \approx 0.448$. Максимальное значение $g(x)$ составляет примерно 9.52.

Теперь найдем минимум функции $H(x) = f(x) - g(x) = \frac{25}{4x^2} - g(x)$. Если ее минимум положителен, то решений нет. $H'(x) = -\frac{25}{2x^3} - g'(x) = 0$. Решение этого уравнения затруднительно. Однако, построение графиков $f(x)$ и $g(x)$ показывает, что они не пересекаются. Следовательно, уравнение $f(x) = g(x)$ не имеет решений.

Ответ: нет решений.