Номер 33.33, страница 246 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.33. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^2 - 2a \sin(\cos x) + 2 = 0$ имеет единственный корень?

Рассмотрим данное уравнение: $x^2 - 2a\sin(\cos x) + 2 = 0$.

Введем функцию $f(x) = x^2 - 2a\sin(\cos x) + 2$. Нам нужно найти значения параметра $a$, при которых уравнение $f(x) = 0$ имеет ровно один корень.

Исследуем функцию $f(x)$ на четность. Область определения функции - все действительные числа. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^2 - 2a\sin(\cos(-x)) + 2$.

Так как функция $y=x^2$ является четной ($(-x)^2 = x^2$) и функция $y=\cos x$ является четной ($\cos(-x) = \cos x$), то:

$f(-x) = x^2 - 2a\sin(\cos x) + 2 = f(x)$.

Следовательно, функция $f(x)$ является четной. Если четная функция имеет корень $x_0 \neq 0$, то она обязательно имеет и корень $-x_0$, так как $f(-x_0) = f(x_0) = 0$. В этом случае у уравнения будет как минимум два корня. Для того чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы этим корнем был $x=0$.

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$:

$0^2 - 2a\sin(\cos 0) + 2 = 0$

$-2a\sin(1) + 2 = 0$

$2a\sin(1) = 2$

$a = \frac{1}{\sin(1)}$

Мы нашли необходимое условие для существования единственного корня. Теперь нужно проверить, является ли это условие достаточным. То есть, проверим, действительно ли при $a = \frac{1}{\sin(1)}$ уравнение имеет только один корень.

Подставим найденное значение $a$ в уравнение:

$x^2 - 2\frac{1}{\sin(1)}\sin(\cos x) + 2 = 0$

Перенесем слагаемое с синусом в правую часть:

$x^2 + 2 = \frac{2\sin(\cos x)}{\sin(1)}$

Рассмотрим левую и правую части этого равенства как две функции от $x$.

Левая часть: $g(x) = x^2 + 2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$. Наименьшее значение этой функции равно $2$ и достигается только при $x=0$. То есть, $g(x) \ge 2$ для всех $x$.

Правая часть: $h(x) = \frac{2\sin(\cos x)}{\sin(1)}$. Оценим множество значений этой функции. Известно, что $-1 \le \cos x \le 1$. Аргумент $t = \cos x$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. Так как $1$ радиан это примерно $57.3^\circ$, то $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$. Отрезок $[-1, 1]$ полностью содержится в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на котором функция $y=\sin t$ является строго возрастающей. Следовательно, наибольшее значение $\sin(\cos x)$ достигается при наибольшем значении $\cos x$, то есть при $\cos x = 1$. Это значение равно $\sin(1)$. Таким образом, $\sin(\cos x) \le \sin(1)$. Отсюда следует, что $h(x) = \frac{2\sin(\cos x)}{\sin(1)} \le \frac{2\sin(1)}{\sin(1)} = 2$. Наибольшее значение функции $h(x)$ равно $2$ и достигается при $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к уравнению $g(x) = h(x)$. Мы получили, что $g(x) \ge 2$, а $h(x) \le 2$. Равенство возможно только в том случае, когда обе части равны $2$:

$\begin{cases} g(x) = x^2 + 2 = 2 \\ h(x) = \frac{2\sin(\cos x)}{\sin(1)} = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения системы получаем $x^2 = 0$, откуда $x=0$.

Из второго уравнения системы получаем $\sin(\cos x) = \sin(1)$, что в силу монотонности синуса на отрезке $[-1, 1]$ равносильно $\cos x = 1$. Решением этого уравнения является $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для того чтобы система имела решение, необходимо, чтобы $x$ удовлетворял обоим условиям одновременно: $x=0$ и $x = 2\pi k$. Это возможно только при $k=0$, что дает единственный корень $x=0$.

Таким образом, при $a = \frac{1}{\sin(1)}$ исходное уравнение действительно имеет единственный корень.

Ответ: $a = \frac{1}{\sin(1)}$.