Номер 33.28, страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.28. Решите уравнение $\sqrt{1 - \operatorname{ctg}^2 2\pi x} \cos \pi x + \sin \pi x = \sqrt{2}$.

Найдём область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $ 1 - \ctg^2(2\pi x) \ge 0 $, что равносильно $ \ctg^2(2\pi x) \le 1 $ или $ |\ctg(2\pi x)| \le 1 $. Это условие выполняется для $ x $, удовлетворяющих неравенству $ \frac{\pi}{4} + \pi k \le 2\pi x \le \frac{3\pi}{4} + \pi k $ для любого целого $ k $. Разделив на $ 2\pi $, получаем: $ \frac{1}{8} + \frac{k}{2} \le x \le \frac{3}{8} + \frac{k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Во-вторых, сам котангенс должен быть определён, то есть $ \sin(2\pi x) \neq 0 $, что означает $ x \neq \frac{n}{2} $ для любого целого $ n $. Это условие автоматически выполняется для $ x $ из найденных интервалов.

Для решения уравнения воспользуемся методом оценки. Левая часть уравнения имеет вид $ a \cos \alpha + b \sin \alpha $, где $ a = \sqrt{1 - \ctg^2(2\pi x)} $, $ b=1 $ и $ \alpha = \pi x $. Максимальное значение такого выражения не превосходит $ \sqrt{a^2+b^2} $. $ (\sqrt{1 - \ctg^2(2\pi x)} \cos(\pi x) + \sin(\pi x))^2 \le (\sqrt{1 - \ctg^2(2\pi x)})^2 + 1^2 = 2 - \ctg^2(2\pi x) $. Следовательно, левая часть уравнения $ L(x) \le \sqrt{2 - \ctg^2(2\pi x)} $. Поскольку по условию $ L(x) = \sqrt{2} $, получаем неравенство $ \sqrt{2} \le \sqrt{2 - \ctg^2(2\pi x)} $. После возведения в квадрат получаем $ 2 \le 2 - \ctg^2(2\pi x) $, что упрощается до $ \ctg^2(2\pi x) \le 0 $. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, это неравенство возможно только в случае равенства: $ \ctg^2(2\pi x) = 0 $, откуда $ \ctg(2\pi x) = 0 $.

Это является необходимым условием для существования решения. Подставив $ \ctg(2\pi x) = 0 $ в исходное уравнение, мы получим: $ \sqrt{1 - 0} \cos(\pi x) + \sin(\pi x) = \sqrt{2} $
$ \cos(\pi x) + \sin(\pi x) = \sqrt{2} $. Преобразуем левую часть с помощью введения вспомогательного угла: $ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\pi x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\pi x) \right) = \sqrt{2} $
$ \cos(\frac{\pi}{4})\cos(\pi x) + \sin(\frac{\pi}{4})\sin(\pi x) = 1 $
$ \cos(\pi x - \frac{\pi}{4}) = 1 $. Решения этого уравнения: $ \pi x - \frac{\pi}{4} = 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $
$ \pi x = \frac{\pi}{4} + 2\pi m $
$ x = \frac{1}{4} + 2m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $ x $ необходимому условию $ \ctg(2\pi x) = 0 $ и входят ли они в ОДЗ. Проверка условия: при $ x = \frac{1}{4} + 2m $, имеем $ 2\pi x = 2\pi(\frac{1}{4} + 2m) = \frac{\pi}{2} + 4\pi m $. Тогда $ \ctg(2\pi x) = \ctg(\frac{\pi}{2} + 4\pi m) = 0 $. Условие выполнено. Проверка ОДЗ: $ x = \frac{1}{4} + 2m = \frac{2}{8} + 2m $. Эти значения попадают в интервалы ОДЗ $ [\frac{1}{8} + \frac{k}{2}, \frac{3}{8} + \frac{k}{2}] $ при $ k = 4m $. Поскольку для любого целого $ m $ соответствующее $ k $ также является целым, все решения принадлежат ОДЗ.
Ответ: $ x = \frac{1}{4} + 2m, m \in \mathbb{Z} $.