Номер 32.3, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

32.3. Решите уравнение:

1) $2\sin^2 x + 7\cos x + 2 = 0;$

2) $2\cos x - \cos 2x - \cos^2 x = 0;$

3) $\cos \frac{2x}{3} - 5\cos \frac{x}{3} - 2 = 0;$

4) $\cos 2x - \cos^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0;$

5) $8\sin^2 3x + 4\sin^2 6x = 5;$

6) $4\operatorname{tg} 5x + 3 \operatorname{ctg} 5x = 7;$

7) $\frac{1}{\sin^2 x} = \operatorname{ctg} x + 3;$

8) $2\operatorname{tg}^2 x + 4\cos^2 x = 7.$

1) $2\sin^2 x + 7\cos x + 2 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции:

$2(1 - \cos^2 x) + 7\cos x + 2 = 0$

$2 - 2\cos^2 x + 7\cos x + 2 = 0$

$-2\cos^2 x + 7\cos x + 4 = 0$

$2\cos^2 x - 7\cos x - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, при этом $|t| \le 1$.

$2t^2 - 7t - 4 = 0$

Находим корни квадратного уравнения:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$

$t_1 = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$

$t_2 = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Корень $t_2 = 4$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\cos x = -0.5$

$x = \pm \arccos(-0.5) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos x - \cos 2x - \cos^2 x = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$2\cos x - (2\cos^2 x - 1) - \cos^2 x = 0$

$2\cos x - 2\cos^2 x + 1 - \cos^2 x = 0$

$-3\cos^2 x + 2\cos x + 1 = 0$

$3\cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, при этом $|t| \le 1$.

$3t^2 - 2t - 1 = 0$

Находим корни. Так как $a+b+c = 3 - 2 - 1 = 0$, то $t_1 = 1$. Второй корень по теореме Виета $t_2 = \frac{c}{a} = -\frac{1}{3}$.

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к исходной переменной. Получаем совокупность уравнений:

1) $\cos x = 1 \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x = -\frac{1}{3} \implies x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi k; x = \pm \arccos(-\frac{1}{3}) + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos \frac{2x}{3} - 5\cos \frac{x}{3} - 2 = 0$

Пусть $y = \frac{x}{3}$. Уравнение примет вид:

$\cos(2y) - 5\cos y - 2 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2y = 2\cos^2 y - 1$:

$(2\cos^2 y - 1) - 5\cos y - 2 = 0$

$2\cos^2 y - 5\cos y - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos y$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 - 5t - 3 = 0$

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{5 - 7}{4} = -0.5$

$t_2 = \frac{5 + 7}{4} = 3$

Корень $t_2 = 3$ не подходит по условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к замене: $\cos y = -0.5$.

$y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Теперь делаем обратную подстановку $y = \frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

$x = 3 \cdot (\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k) = \pm 2\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm 2\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos 2x - \cos^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0$

Используем формулы $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$(1 - 2\sin^2 x) - (1 - \sin^2 x) - \sqrt{2}\sin x = 0$

$1 - 2\sin^2 x - 1 + \sin^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0$

$-\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0$

$\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x = 0$

Выносим $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x + \sqrt{2}) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin x + \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = -\sqrt{2}$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$, а $|-\sqrt{2}| > 1$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

5) $8\sin^2 3x + 4\sin^2 6x = 5$

Используем формулы понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$:

$8\left(\frac{1 - \cos 6x}{2}\right) + 4\left(\frac{1 - \cos 12x}{2}\right) = 5$

$4(1 - \cos 6x) + 2(1 - \cos 12x) = 5$

$4 - 4\cos 6x + 2 - 2\cos 12x = 5$

$6 - 4\cos 6x - 2\cos 12x = 5$

$2\cos 12x + 4\cos 6x - 1 = 0$

Используем формулу $\cos 12x = 2\cos^2 6x - 1$:

$2(2\cos^2 6x - 1) + 4\cos 6x - 1 = 0$

$4\cos^2 6x - 2 + 4\cos 6x - 1 = 0$

$4\cos^2 6x + 4\cos 6x - 3 = 0$

Сделаем замену $t = \cos 6x$, где $|t| \le 1$.

$4t^2 + 4t - 3 = 0$

$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$

$t_1 = \frac{-4 - 8}{8} = -1.5$ (не подходит)

$t_2 = \frac{-4 + 8}{8} = 0.5$

Возвращаемся к замене: $\cos 6x = 0.5$.

$6x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

6) $4\tg 5x + 3 \ctg 5x = 7$

Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos 5x \ne 0$ и $\sin 5x \ne 0$, то есть $5x \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\ctg 5x = \frac{1}{\tg 5x}$:

$4\tg 5x + \frac{3}{\tg 5x} = 7$

Сделаем замену $t = \tg 5x$.

$4t + \frac{3}{t} = 7$

Умножим обе части на $t$ (по ОДЗ $t \ne 0$):

$4t^2 - 7t + 3 = 0$

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$

$t_1 = \frac{7 - 1}{8} = \frac{3}{4}$

$t_2 = \frac{7 + 1}{8} = 1$

Возвращаемся к замене:

1) $\tg 5x = \frac{3}{4} \implies 5x = \text{arctg}(\frac{3}{4}) + \pi k \implies x = \frac{1}{5}\text{arctg}(\frac{3}{4}) + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$

2) $\tg 5x = 1 \implies 5x = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{1}{5}\text{arctg}(\frac{3}{4}) + \frac{\pi k}{5}; x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, k, n \in \mathbb{Z}$.

7) $\frac{1}{\sin^2 x} = \ctg x + 3$

ОДЗ: $\sin x \ne 0$, т.е. $x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \ctg^2 x$:

$1 + \ctg^2 x = \ctg x + 3$

$\ctg^2 x - \ctg x - 2 = 0$

Сделаем замену $t = \ctg x$.

$t^2 - t - 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 2, t_2 = -1$.

Возвращаемся к замене:

1) $\ctg x = 2 \implies x = \text{arcctg}(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\ctg x = -1 \implies x = \text{arcctg}(-1) + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \text{arcctg}(2) + \pi k; x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, k, n \in \mathbb{Z}$.

8) $2\tg^2 x + 4\cos^2 x = 7$

ОДЗ: $\cos x \ne 0$, т.е. $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$:

$2\left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right) + 4\cos^2 x = 7$

$\frac{2}{\cos^2 x} - 2 + 4\cos^2 x = 7$

$\frac{2}{\cos^2 x} + 4\cos^2 x - 9 = 0$

Сделаем замену $t = \cos^2 x$. Из ОДЗ и определения косинуса следует $0 < t \le 1$.

$\frac{2}{t} + 4t - 9 = 0$

Умножим на $t \ne 0$: $2 + 4t^2 - 9t = 0 \implies 4t^2 - 9t + 2 = 0$.

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{9 - 7}{8} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{9 + 7}{8} = 2$ (не подходит, так как $t \le 1$)

Возвращаемся к замене: $\cos^2 x = \frac{1}{4}$.

Это уравнение можно решить, понизив степень: $\frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{4}$.

$1 + \cos 2x = \frac{1}{2}$

$\cos 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.