Номер 32.4, страница 238 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Исходное уравнение: $5\sin\frac{x}{6} - \cos\frac{x}{3} + 3 = 0$.
Аргументы тригонометрических функций отличаются в два раза: $\frac{x}{3} = 2 \cdot \frac{x}{6}$.
Применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
Пусть $\alpha = \frac{x}{6}$, тогда $\cos\frac{x}{3} = 1 - 2\sin^2\frac{x}{6}$.
Подставим это выражение в исходное уравнение: $5\sin\frac{x}{6} - (1 - 2\sin^2\frac{x}{6}) + 3 = 0$
$5\sin\frac{x}{6} - 1 + 2\sin^2\frac{x}{6} + 3 = 0$
$2\sin^2\frac{x}{6} + 5\sin\frac{x}{6} + 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\sin\frac{x}{6}$. Сделаем замену $t = \sin\frac{x}{6}$, при этом $|t| \le 1$.
$2t^2 + 5t + 2 = 0$
Найдем корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 3}{4} = -2$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}$
Корень $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как синус не может быть меньше -1. Следовательно, подходит только $t_2 = -\frac{1}{2}$.
Вернемся к замене:
$\sin\frac{x}{6} = -\frac{1}{2}$
$\frac{x}{6} = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\frac{x}{6} = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\frac{x}{6} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Умножим обе части на 6, чтобы найти $x$:
$x = (-1)^{k+1} \pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Исходное уравнение: $\cos x + \sin\frac{x}{2} = 0$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$, где $\alpha = \frac{x}{2}$. Тогда $\cos x = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}$.
Подставим в уравнение:
$(1 - 2\sin^2\frac{x}{2}) + \sin\frac{x}{2} = 0$
$-2\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} + 1 = 0$
Умножим на -1 для удобства: $2\sin^2\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin\frac{x}{2}$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 - t - 1 = 0$
Найдем корни:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$
$t_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $\sin\frac{x}{2} = -\frac{1}{2}$
$\frac{x}{2} = (-1)^k \frac{-\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\frac{x}{2} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Случай 2: $\sin\frac{x}{2} = 1$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pi + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Исходное уравнение: $2\cos^2 4x - 6\cos^2 2x + 1 = 0$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.
Пусть $\alpha = 2x$, тогда $\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1$.
Подставим это в уравнение:
$2(2\cos^2 2x - 1)^2 - 6\cos^2 2x + 1 = 0$
Сделаем замену $t = \cos^2 2x$, где $0 \le t \le 1$.
$2(2t - 1)^2 - 6t + 1 = 0$
$2(4t^2 - 4t + 1) - 6t + 1 = 0$
$8t^2 - 8t + 2 - 6t + 1 = 0$
$8t^2 - 14t + 3 = 0$
Найдем корни:
$D = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 196 - 96 = 100$
$t_1 = \frac{14 - 10}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{14 + 10}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$
Корень $t_2 = \frac{3}{2}$ не удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$.
Подходит только $t_1 = \frac{1}{4}$.
Вернемся к замене: $\cos^2 2x = \frac{1}{4}$.
Для решения этого уравнения удобно использовать формулу понижения степени: $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.
$\frac{1 + \cos(4x)}{2} = \frac{1}{4}$
$1 + \cos(4x) = \frac{1}{2}$
$\cos(4x) = -\frac{1}{2}$
$4x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$4x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Исходное уравнение: $\tg x + 2\ctg x = 3$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \ne 0$ и $\cos x \ne 0$, то есть $x \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$.
$\tg x + \frac{2}{\tg x} = 3$
Сделаем замену $t = \tg x$.
$t + \frac{2}{t} = 3$
Умножим обе части на $t$ (при $t \ne 0$):
$t^2 + 2 = 3t$
$t^2 - 3t + 2 = 0$
По теореме Виета, корни $t_1 = 1, t_2 = 2$.
Вернемся к замене.
Случай 1: $\tg x = 1$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Случай 2: $\tg x = 2$
$x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Оба решения входят в ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Исходное уравнение: $\sqrt{3}\tg x + 3 = \frac{3}{\cos^2 x}$.
ОДЗ: $\cos x \ne 0$, т.е. $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tg^2 x$.
$\sqrt{3}\tg x + 3 = 3(1 + \tg^2 x)$
$\sqrt{3}\tg x + 3 = 3 + 3\tg^2 x$
$3\tg^2 x - \sqrt{3}\tg x = 0$
Вынесем $\tg x$ за скобки:
$\tg x (3\tg x - \sqrt{3}) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
Случай 1: $\tg x = 0$
$x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Случай 2: $3\tg x - \sqrt{3} = 0$
$3\tg x = \sqrt{3}$
$\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
Оба решения входят в ОДЗ.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Исходное уравнение: $4\sin^2 x + 9\ctg^2 x = 6$.
ОДЗ: $\sin x \ne 0$, т.е. $x \ne \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $\ctg^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x}$.
$4\sin^2 x + 9\frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} = 6$
Сделаем замену $t = \sin^2 x$. Из ОДЗ следует, что $t \ne 0$. Также $t \le 1$. Таким образом, $0 < t \le 1$.
$4t + \frac{9(1-t)}{t} = 6$
Умножим обе части на $t$ (т.к. $t \ne 0$):
$4t^2 + 9(1-t) = 6t$
$4t^2 + 9 - 9t = 6t$
$4t^2 - 15t + 9 = 0$
Найдем корни:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81$
$t_1 = \frac{15 - 9}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
$t_2 = \frac{15 + 9}{8} = \frac{24}{8} = 3$
Корень $t_2 = 3$ не удовлетворяет условию $0 < t \le 1$.
Подходит только $t_1 = \frac{3}{4}$.
Вернемся к замене: $\sin^2 x = \frac{3}{4}$.
Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}$
$1 - \cos(2x) = \frac{3}{2}$
$\cos(2x) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
Полученные решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.