Номер 31.47, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.47. Решите уравнение $ \arcsin x + \arcsin \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} $.

Исходное уравнение: $\arcsin x + \arcsin \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2}$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент функции $\arcsin u$ должен находиться в промежутке $[-1, 1]$. Поэтому должны выполняться два условия:

$\begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ -1 \le \frac{x}{2} \le 1 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$-2 \le x \le 2$

Найдем пересечение двух условий:

$\begin{cases} x \in [-1, 1] \\ x \in [-2, 2] \end{cases} \implies x \in [-1, 1]$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in [-1, 1]$.

2. Решение уравнения.

Преобразуем исходное уравнение:

$\arcsin x = \frac{\pi}{2} - \arcsin \frac{x}{2}$

Воспользуемся основным тождеством для обратных тригонометрических функций: $\arccos u = \frac{\pi}{2} - \arcsin u$.

Применив это тождество к правой части уравнения, получим:

$\arcsin x = \arccos \frac{x}{2}$

Пусть $\alpha = \arcsin x = \arccos \frac{x}{2}$.

Из равенства $\alpha = \arcsin x$ следует, что $x = \sin \alpha$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Из равенства $\alpha = \arccos \frac{x}{2}$ следует, что $\frac{x}{2} = \cos \alpha$ и $\alpha \in [0, \pi]$.

Чтобы оба равенства выполнялись одновременно, $\alpha$ должен принадлежать пересечению этих промежутков: $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$.

На промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$ значения синуса и косинуса неотрицательны, то есть $\sin \alpha \ge 0$ и $\cos \alpha \ge 0$.

Следовательно, $x \ge 0$ и $\frac{x}{2} \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

С учетом ОДЗ ($x \in [-1, 1]$), получаем, что корень уравнения должен лежать в промежутке $x \in [0, 1]$.

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Подставим в него выражения для $\sin \alpha$ и $\cos \alpha$ через $x$:

$x^2 + (\frac{x}{2})^2 = 1$

$x^2 + \frac{x^2}{4} = 1$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{4x^2 + x^2}{4} = 1$

$\frac{5x^2}{4} = 1$

$5x^2 = 4$

$x^2 = \frac{4}{5}$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x = \sqrt{\frac{4}{5}}$ и $x = -\sqrt{\frac{4}{5}}$.

$x_1 = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

$x_2 = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Так как мы установили, что $x \ge 0$, то корень $x_2 = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ является посторонним.

Проверим, удовлетворяет ли корень $x_1 = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ области допустимых значений $x \in [-1, 1]$.

Так как $4 < 5$, то $\frac{4}{5} < 1$, следовательно $x_1^2 < 1$, что означает $|x_1| < 1$. Корень $x_1 = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.