gdz.top
Номер 31.45, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 31. Функции y = arccos x, y = arcsin x, y = arctg x, y = arcctg x - номер 31.45, страница 233.
№31.44
№31.45 (с. 233)
Условие. №31.45 (с. 233)
31.45. Докажите, что $\arcsin \frac{5}{13} + \arcsin \frac{12}{13} = \frac{\pi}{2}$.
Решение. №31.45 (с. 233)
Для доказательства данного равенства воспользуемся основным свойством обратных тригонометрических функций: $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, которое справедливо для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$.
Применим это свойство для $x = \frac{5}{13}$:$\arcsin\frac{5}{13} + \arccos\frac{5}{13} = \frac{\pi}{2}$.
Теперь докажем, что $\arccos\frac{5}{13} = \arcsin\frac{12}{13}$.
Пусть $\alpha = \arccos\frac{5}{13}$. Согласно определению арккосинуса, это означает, что $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[0, \pi]$. Так как значение косинуса $\frac{5}{13}$ положительно, угол $\alpha$ лежит в первой четверти, то есть $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.
Найдем значение $\sin \alpha$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$.
Поскольку $\alpha$ находится в первой четверти, $\sin \alpha$ имеет положительное значение. Следовательно:$\sin \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
Итак, мы имеем $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ и $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Это в точности соответствует определению арксинуса, так как область значений арксинуса — это $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, $\alpha = \arcsin\frac{12}{13}$.
Так как мы изначально положили $\alpha = \arccos\frac{5}{13}$, мы доказали, что $\arccos\frac{5}{13} = \arcsin\frac{12}{13}$.
Подставим полученный результат в равенство $\arcsin\frac{5}{13} + \arccos\frac{5}{13} = \frac{\pi}{2}$:$\arcsin\frac{5}{13} + \arcsin\frac{12}{13} = \frac{\pi}{2}$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 31.45 расположенного на странице 233 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №31.45 (с. 233), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.