Номер 31.38, страница 233 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.38. Постройте график функции $y = \text{arctg}(\text{tg}x)$.

Для построения графика функции $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$ проанализируем её свойства.

1. Область определения

Внутренняя функция $\operatorname{tg} x$ определена для всех $x$, при которых $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Следовательно, область определения функции $D(y)$: $x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$.

2. Область значений

Функция $\operatorname{arctg}(z)$ по определению принимает значения в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Поскольку $\operatorname{tg} x$ может принимать любые действительные значения (от $-\infty$ до $+\infty$), область значений функции $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$ совпадает с областью значений арктангенса.
Следовательно, область значений функции $E(y) = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

3. Периодичность

Функция $\operatorname{tg} x$ является периодической с основным периодом $T = \pi$. Проверим периодичность всей функции:
$y(x + \pi) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(x + \pi)) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = y(x)$.
Функция периодична с периодом $T = \pi$. Это позволяет нам построить график на одном интервале длиной $\pi$, а затем повторить его на всей числовой оси.

4. Построение графика

Рассмотрим поведение функции на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Для любого $x$ из этого интервала справедливо тождество $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = x$.
Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ график функции $y$ совпадает с прямой $y = x$.
На концах интервала, в точках $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$, функция не определена. Пределы в этих точках (односторонние) равны:
$\lim_{x \to (\pi/2)^-} \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = \frac{\pi}{2}$
$\lim_{x \to (-\pi/2)^+} \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = -\frac{\pi}{2}$
Это означает, что на графике будут выколотые точки $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Используя периодичность, мы можем определить вид графика на других интервалах. Например, на интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$.
Пусть $x' = x - \pi$. Тогда, если $x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, то $x' \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
$y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(x' + \pi)) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x') = x'$.
Подставив обратно $x' = x - \pi$, получаем $y = x - \pi$.
В общем виде, на любом интервале $(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$ при $k \in \mathbb{Z}$ график функции совпадает с прямой $y = x - k\pi$.

Таким образом, график состоит из бесконечного числа параллельных отрезков с угловым коэффициентом $1$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ происходят разрывы первого рода (скачки), где значение функции "перескакивает" с $\frac{\pi}{2}$ на $-\frac{\pi}{2}$. Весь график заключен в горизонтальной полосе между прямыми $y = -\frac{\pi}{2}$ и $y = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x)$ представляет собой набор параллельных отрезков прямых. Для каждого целого числа $k$, на интервале $x \in (k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2})$ функция задается уравнением $y = x - k\pi$. Функция является периодической с периодом $\pi$ и имеет разрывы в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.