Номер 31.25, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.25. Вычислите:

1) $ \sin(\operatorname{arctg} 2) $;

2) $ \cos\left(\operatorname{arctg} \frac{1}{2} - \operatorname{arcctg} 3\right) $.

1)
Пусть $\alpha = \text{arcctg } 2$. По определению арккотангенса, это означает, что $\text{ctg } \alpha = 2$ и угол $\alpha$ находится в интервале $(0, \pi)$.
Нам нужно найти $\text{sin } \alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: $1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\text{sin}^2 \alpha}$.
Подставим известное значение котангенса в формулу:
$1 + 2^2 = \frac{1}{\text{sin}^2 \alpha}$
$1 + 4 = \frac{1}{\text{sin}^2 \alpha}$
$5 = \frac{1}{\text{sin}^2 \alpha}$
Отсюда находим $\text{sin}^2 \alpha$:
$\text{sin}^2 \alpha = \frac{1}{5}$
Следовательно, $\text{sin } \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}$.
Так как по определению $\text{arcctg } x$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, то и наш угол $\alpha$ лежит в этом интервале. Синус в первой и второй четвертях положителен, поэтому мы выбираем значение со знаком плюс.
$\text{sin } \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Таким образом, $\text{sin}(\text{arcctg } 2) = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

2)
Для вычисления значения выражения воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $\text{cos}(a - b) = \text{cos } a \text{ cos } b + \text{sin } a \text{ sin } b$.
В нашем случае, пусть $a = \text{arctg } \frac{1}{2}$ и $b = \text{arcctg } 3$. Нам необходимо найти значения $\text{cos } a$, $\text{sin } a$, $\text{cos } b$ и $\text{sin } b$.

1. Найдем синус и косинус для $a = \text{arctg } \frac{1}{2}$.
Из определения арктангенса следует, что $\text{tg } a = \frac{1}{2}$ и $a \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Так как тангенс положителен, угол $a$ находится в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$.
Используем тождество $1 + \text{tg}^2 a = \frac{1}{\text{cos}^2 a}$:
$1 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{\text{cos}^2 a} \implies 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = \frac{1}{\text{cos}^2 a} \implies \text{cos}^2 a = \frac{4}{5}$.
Поскольку $a$ находится в первой четверти, $\text{cos } a > 0$, поэтому $\text{cos } a = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Теперь найдем $\text{sin } a$ из тождества $\text{sin}^2 a + \text{cos}^2 a = 1$:
$\text{sin}^2 a = 1 - \text{cos}^2 a = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
Поскольку $a$ находится в первой четверти, $\text{sin } a > 0$, поэтому $\text{sin } a = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

2. Найдем синус и косинус для $b = \text{arcctg } 3$.
Из определения арккотангенса следует, что $\text{ctg } b = 3$ и $b \in (0, \pi)$. Так как котангенс положителен, угол $b$ находится в первой четверти $(0, \frac{\pi}{2})$.
Используем тождество $1 + \text{ctg}^2 b = \frac{1}{\text{sin}^2 b}$:
$1 + 3^2 = \frac{1}{\text{sin}^2 b} \implies 1 + 9 = 10 = \frac{1}{\text{sin}^2 b} \implies \text{sin}^2 b = \frac{1}{10}$.
Поскольку $b$ находится в первой четверти, $\text{sin } b > 0$, поэтому $\text{sin } b = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
Теперь найдем $\text{cos } b$ из тождества $\text{sin}^2 b + \text{cos}^2 b = 1$:
$\text{cos}^2 b = 1 - \text{sin}^2 b = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.
Поскольку $b$ находится в первой четверти, $\text{cos } b > 0$, поэтому $\text{cos } b = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

3. Подставим найденные значения в формулу косинуса разности:
$\text{cos}(\text{arctg}\frac{1}{2} - \text{arcctg } 3) = \text{cos } a \text{ cos } b + \text{sin } a \text{ sin } b = (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}) + (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{10}})$
$= \frac{6}{\sqrt{50}} + \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{7}{\sqrt{50}}$
Упростим знаменатель: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
Получаем: $\frac{7}{5\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$\frac{7\sqrt{2}}{5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$.
Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{10}$