gdz.top
Номер 31.22, страница 232 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 31. Функции y = arccos x, y = arcsin x, y = arctg x, y = arcctg x - номер 31.22, страница 232.
№31.21
№31.22 (с. 232)
Условие. №31.22 (с. 232)
31.22. Докажите, что при $|x| \le 1$ выполняется равенство
$\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$
Решение. №31.22 (с. 232)
Для доказательства данного равенства воспользуемся определением арксинуса и основным тригонометрическим тождеством.
Пусть $y = \arcsin x$.
По определению функции арксинус, это равносильно выполнению двух условий:
1) $\sin y = x$
2) $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$
Теперь рассмотрим левую часть доказываемого равенства, $\cos(\arcsin x)$, и подставим в нее нашу замену $y = \arcsin x$. Получим выражение $\cos y$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$.
Выразим из этого тождества $\cos^2 y$:
$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$.
Используя условие (1), $\sin y = x$, подставим $x$ в полученное уравнение:
$\cos^2 y = 1 - x^2$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$\cos y = \pm\sqrt{1 - x^2}$.
Чтобы определить правильный знак, обратимся к условию (2): $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$. Этот промежуток соответствует первой и четвертой координатным четвертям, где функция косинуса принимает только неотрицательные значения, то есть $\cos y \ge 0$.
Следовательно, мы должны выбрать знак «+» перед корнем:
$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$.
Теперь выполним обратную замену $y = \arcsin x$:
$\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$.
Равенство справедливо для всей области определения функции $\arcsin x$, то есть при $|x| \le 1$. Таким образом, равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 31.22 расположенного на странице 232 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №31.22 (с. 232), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.