Номер 31.17, страница 231 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

31.17. Найдите область значений функции:

1) $y = \arcsin \sqrt{x + 4}$;

2) $y = \frac{1}{\arcsin x}$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt{\arccos x}}$.

1) $y = \arcsin\sqrt{x} + 4$

Для нахождения области значений функции $E(y)$ сначала найдем ее область определения $D(y)$.
Функция определена, если выполнены два условия:
1. Выражение под корнем неотрицательно: $x \ge 0$.
2. Аргумент арксинуса находится в промежутке $[-1, 1]$: $-1 \le \sqrt{x} \le 1$.
Поскольку $\sqrt{x}$ по определению неотрицателен, второе неравенство равносильно $0 \le \sqrt{x} \le 1$.
Возведя в квадрат все части этого неравенства, получаем $0 \le x \le 1$.
Следовательно, область определения функции $D(y) = [0, 1]$.

Теперь найдем, какие значения принимает выражение $\sqrt{x}$ при $x \in [0, 1]$.
Функция $t(x) = \sqrt{x}$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение она принимает при $x=0$, $t(0)=\sqrt{0}=0$, а наибольшее — при $x=1$, $t(1)=\sqrt{1}=1$.
Значит, $\sqrt{x}$ принимает все значения из отрезка $[0, 1]$.

Далее найдем, какие значения принимает функция $\arcsin t$ при $t \in [0, 1]$.
Функция $\arcsin t$ является возрастающей. Ее наименьшее значение на отрезке $[0, 1]$ равно $\arcsin 0 = 0$, а наибольшее — $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.
Следовательно, выражение $\arcsin\sqrt{x}$ принимает все значения из отрезка $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Наконец, найдем область значений исходной функции $y = \arcsin\sqrt{x} + 4$.
Так как $0 \le \arcsin\sqrt{x} \le \frac{\pi}{2}$, то, прибавив 4 ко всем частям неравенства, получим:
$0 + 4 \le \arcsin\sqrt{x} + 4 \le \frac{\pi}{2} + 4$
$4 \le y \le 4 + \frac{\pi}{2}$
Таким образом, область значений функции — это отрезок $[4, 4 + \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: $E(y) = [4; 4 + \frac{\pi}{2}]$.

2) $y = \frac{1}{\arcsin x}$

Найдем область определения функции $D(y)$.
1. Аргумент арксинуса должен находиться в промежутке $[-1, 1]$, то есть $x \in [-1, 1]$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\arcsin x \ne 0$. Это условие выполняется при $x \ne 0$.
Таким образом, область определения функции $D(y) = [-1, 0) \cup (0, 1]$.

Теперь найдем множество значений, которые принимает знаменатель $\arcsin x$ при $x \in [-1, 0) \cup (0, 1]$.
Функция $\arcsin x$ возрастающая.
- Если $x \in [-1, 0)$, то $\arcsin x$ принимает значения от $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$ (включительно) до $\arcsin 0 = 0$ (не включительно). То есть, $\arcsin x \in [-\frac{\pi}{2}, 0)$.
- Если $x \in (0, 1]$, то $\arcsin x$ принимает значения от $\arcsin 0 = 0$ (не включительно) до $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$ (включительно). То есть, $\arcsin x \in (0, \frac{\pi}{2}]$.
Объединяя эти два промежутка, получаем, что знаменатель $t = \arcsin x$ принимает значения из множества $[-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$.

Теперь найдем область значений функции $y = \frac{1}{t}$ для $t \in [-\frac{\pi}{2}, 0) \cup (0, \frac{\pi}{2}]$.
- Если $t \in (0, \frac{\pi}{2}]$, то функция $y = \frac{1}{t}$ убывает. Наименьшее значение достигается при $t = \frac{\pi}{2}$ и равно $y = \frac{1}{\pi/2} = \frac{2}{\pi}$. При $t \to 0^+$, $y \to +\infty$. Таким образом, на этом промежутке $y$ принимает значения $[\frac{2}{\pi}, +\infty)$.
- Если $t \in [-\frac{\pi}{2}, 0)$, то функция $y = \frac{1}{t}$ также убывает. Наибольшее значение достигается при $t = -\frac{\pi}{2}$ и равно $y = \frac{1}{-\pi/2} = -\frac{2}{\pi}$. При $t \to 0^-$, $y \to -\infty$. Таким образом, на этом промежутке $y$ принимает значения $(-\infty, -\frac{2}{\pi}]$.

Объединяя полученные результаты, находим область значений исходной функции: $(-\infty, -\frac{2}{\pi}] \cup [\frac{2}{\pi}, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -\frac{2}{\pi}] \cup [\frac{2}{\pi}; +\infty)$.

3) $y = \frac{1}{\sqrt{\arccos x}}$

Найдем область определения функции $D(y)$.
1. Аргумент арккосинуса должен находиться в промежутке $[-1, 1]$, то есть $x \in [-1, 1]$.
2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $\arccos x > 0$.
Область значений функции $\arccos x$ — это отрезок $[0, \pi]$. Условие $\arccos x > 0$ выполняется для всех $x$ из области определения, кроме того значения, где $\arccos x = 0$.
$\arccos x = 0$ при $x=1$.
Следовательно, область определения функции $D(y) = [-1, 1)$.

Теперь найдем множество значений, которые принимает выражение $\arccos x$ при $x \in [-1, 1)$.
Функция $\arccos x$ является убывающей.
При $x = -1$, значение $\arccos(-1) = \pi$.
При $x \to 1^-$, значение $\arccos x \to \arccos 1 = 0$.
Таким образом, при $x \in [-1, 1)$ выражение $\arccos x$ принимает значения из промежутка $(0, \pi]$.

Пусть $u = \arccos x$, тогда $u \in (0, \pi]$. Найдем множество значений выражения $\sqrt{u}$.
Функция $f(u)=\sqrt{u}$ возрастающая, поэтому для $u \in (0, \pi]$ ее значения будут находиться в промежутке $(\sqrt{0}, \sqrt{\pi}]$, то есть $(0, \sqrt{\pi}]$.

Наконец, найдем область значений исходной функции $y = \frac{1}{\sqrt{\arccos x}}$. Обозначим $t = \sqrt{\arccos x}$, где $t \in (0, \sqrt{\pi}]$.
Нам нужно найти область значений функции $y = \frac{1}{t}$ для $t \in (0, \sqrt{\pi}]$.
Функция $y = \frac{1}{t}$ является убывающей на $(0, +\infty)$.
Наименьшее значение будет достигаться при наибольшем значении $t$, то есть при $t=\sqrt{\pi}$: $y_{min} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$.
При $t \to 0^+$, $y \to +\infty$.
Следовательно, область значений функции — это промежуток $[\frac{1}{\sqrt{\pi}}, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{\sqrt{\pi}}; +\infty)$.