Номер 29.18, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.18. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $(\cos x - a)\left(\sin x + \frac{1}{2}\right) = 0$ на промежутке $(0; 2\pi]$?

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$(\cos x - a)\left(\sin x + \frac{1}{2}\right) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{array}{l} \cos x - a = 0, \\ \sin x + \frac{1}{2} = 0. \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{array}{l} \cos x = a, \\ \sin x = -\frac{1}{2}. \end{array} \right.$

Нам нужно найти общее количество различных корней этой совокупности на промежутке $(0; 2\pi]$.

1. Решение уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$

На промежутке $(0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня. Используя тригонометрическую окружность, находим, что это углы в III и IV четвертях. Корнями являются $x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
Эти два корня присутствуют в решении исходного уравнения при любом значении параметра $a$.

2. Решение уравнения $\cos x = a$

Количество корней этого уравнения на промежутке $(0; 2\pi]$ зависит от значения параметра $a$.

• Если $|a| > 1$ (то есть $a < -1$ или $a > 1$), уравнение $\cos x = a$ не имеет корней.
• Если $a = 1$, уравнение $\cos x = 1$ имеет один корень $x = 2\pi$ на данном промежутке.
• Если $a = -1$, уравнение $\cos x = -1$ имеет один корень $x = \pi$ на данном промежутке.
• Если $-1 < a < 1$, уравнение $\cos x = a$ имеет два корня на данном промежутке: $x = \arccos(a)$ и $x = 2\pi - \arccos(a)$.

3. Анализ общего количества корней

Общее количество корней исходного уравнения равно сумме корней обоих уравнений, за вычетом числа совпадающих корней. Выясним, при каких значениях $a$ корни уравнений $\cos x = a$ и $\sin x = -\frac{1}{2}$ совпадают. Это произойдет, если один из корней $x_1 = \frac{7\pi}{6}$ или $x_2 = \frac{11\pi}{6}$ удовлетворяет уравнению $\cos x = a$.

• Если $x = \frac{7\pi}{6}$, то $a = \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Если $x = \frac{11\pi}{6}$, то $a = \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, особые значения параметра $a$, которые нужно рассмотреть отдельно, это $1, -1, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим все случаи для параметра $a$.

При $|a| > 1$, то есть $a \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$:
Уравнение $\cos x = a$ корней не имеет. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет два корня. Совпадений нет. Итого 2 корня.

При $a = 1$:
Уравнение $\cos x = 1$ имеет один корень $x = 2\pi$. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет два корня ($\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$). Корень $x=2\pi$ не совпадает ни с одним из корней второго уравнения, так как $\sin(2\pi) = 0 \neq -\frac{1}{2}$. Общее количество корней: $1 + 2 = 3$.

При $a = -1$:
Уравнение $\cos x = -1$ имеет один корень $x = \pi$. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет два корня. Корень $x=\pi$ не совпадает ни с одним из корней второго уравнения, так как $\sin(\pi) = 0 \neq -\frac{1}{2}$. Общее количество корней: $1 + 2 = 3$.

При $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два корня: $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{11\pi}{6}$. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет два корня: $x = \frac{7\pi}{6}$ и $x = \frac{11\pi}{6}$. Корень $x = \frac{11\pi}{6}$ является общим. Общее число различных корней: $2 + 2 - 1 = 3$. (Корни: $\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$).

При $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:
Уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два корня: $x = \frac{5\pi}{6}$ и $x = \frac{7\pi}{6}$. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет два корня: $x = \frac{7\pi}{6}$ и $x = \frac{11\pi}{6}$. Корень $x = \frac{7\pi}{6}$ является общим. Общее число различных корней: $2 + 2 - 1 = 3$. (Корни: $\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$).

При $a \in (-1; 1)$, но $a \neq \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$:
Уравнение $\cos x = a$ имеет два корня. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет два корня. В этом случае совпадений корней нет. Общее количество корней: $2 + 2 = 4$.

Ответ:

• при $a \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$ — 2 корня;
• при $a \in \left\{-1; -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right\}$ — 3 корня;
• при $a \in \left(-1; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right)$ — 4 корня.