Номер 29.17, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.17. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2})(\sin x - a) = 0$ на промежутке $[0; 2\pi)$?

Исходное уравнение $(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2})(\sin x - a) = 0$ равносильно совокупности (объединению решений) двух уравнений:

1) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

2) $\sin x = a$

Найдём количество корней каждого уравнения на промежутке $[0; 2\pi]$ и учтём возможные совпадения корней.

Решение уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

На промежутке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет ровно два корня: $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$. Эти два корня не зависят от параметра $a$.

Решение уравнения $\sin x = a$

Количество корней этого уравнения на промежутке $[0; 2\pi]$ зависит от значения $a$:

- Если $|a| > 1$, корней нет.

- Если $a = 1$ или $a = -1$, есть один корень ($x = \frac{\pi}{2}$ или $x = \frac{3\pi}{2}$ соответственно).

- Если $a=0$, есть три корня ($x=0, x=\pi, x=2\pi$).

- Если $a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$, есть два корня.

Анализ общего числа корней

Общее число корней исходного уравнения — это число уникальных корней из обоих уравнений. Необходимо проверить, при каких значениях $a$ корни уравнений совпадают. Корень первого уравнения будет также корнем второго, если его синус равен $a$.

1. Для корня $x_1 = \frac{\pi}{4}$: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Если $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $x_1$ является общим корнем.

2. Для корня $x_2 = \frac{7\pi}{4}$: $\sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Если $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $x_2$ является общим корнем.

Рассмотрим все случаи в зависимости от $a$.

1. $|a| > 1$: Уравнение $\sin x = a$ корней не имеет. Общее число корней равно числу корней первого уравнения, то есть 2.

2. $a = 1$ или $a = -1$: Уравнение $\sin x = a$ имеет 1 корень ($x=\frac{\pi}{2}$ или $x=\frac{3\pi}{2}$). Эти корни не совпадают с корнями первого уравнения. Общее число корней: $2 + 1 = 3$.

3. $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$: Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дает корни $\{\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$. Уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дает корни $\{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\}$. Имеется один общий корень $x = \frac{\pi}{4}$. Уникальные корни: $\{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$. Всего 3 корня.

4. $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дает корни $\{\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$. Уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ дает корни $\{\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$. Имеется один общий корень $x = \frac{7\pi}{4}$. Уникальные корни: $\{\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$. Всего 3 корня.

5. $a = 0$: Уравнение $\sin x = 0$ имеет 3 корня $\{0, \pi, 2\pi\}$. Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет 2 корня $\{\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$. Общих корней нет. Общее число корней: $2 + 3 = 5$.

6. $a \in (-1, 1)$, но $a \notin \{-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\}$: Уравнение $\sin x = a$ имеет 2 корня. Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет 2 корня. Так как $a$ не равно $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$, общих корней нет. Общее число корней: $2 + 2 = 4$.

Ответ:

• при $a = 0$ — 5 корней;

• при $a \in (-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ — 4 корня;

• при $a \in \{-1, 1, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\}$ — 3 корня;

• при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ — 2 корня.