Страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.10. Решите уравнение:

1) $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 1 $;

2) $ \sin x + \cos x = \sqrt{2} $.

1)

Дано уравнение: $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 1 $.

Это линейное тригонометрическое уравнение вида $ a \sin x + b \cos x = c $, где $ a=1, b=-\sqrt{3}, c=1 $. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $:

$ \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{1}{2} $

Заметим, что $ \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3}) $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3}) $. Подставим эти значения в уравнение:

$ \sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $. В нашем случае $ \alpha = x $ и $ \beta = \frac{\pi}{3} $.

$ \sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение можно представить в виде совокупности двух серий:

$ \begin{cases} x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \\ x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Из первой серии находим $x$:

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi + 2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

Из второй серии находим $x$:

$ x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{5\pi + 2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $

Таким образом, получаем две серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} $.

2)

Дано уравнение: $ \sin x + \cos x = \sqrt{2} $.

Это также линейное тригонометрическое уравнение с коэффициентами $ a=1, b=1 $. Разделим обе части на $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.

$ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $

$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1 $

Заметим, что $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4}) $ и $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4}) $. Подставим эти значения:

$ \sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = 1 $

Используем формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $, где $ \alpha=x, \beta=\frac{\pi}{4} $.

$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 $

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Выразим $ x $:

$ x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

$ x = \frac{2\pi - \pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

29.11. Решите уравнение:

1) $\sin^2 \frac{2}{x} = 0;$

2) $\sin \pi \sqrt{x} = -1;$

3) $\sin(\cos x) = 0,5.$

1) Дано уравнение $sin^2\frac{2}{x} = 0$.
Это уравнение равносильно уравнению $sin\frac{2}{x} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$.
Общее решение уравнения $sin(t) = 0$ дается формулой $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — целое число).
В нашем случае аргументом синуса является $t = \frac{2}{x}$, поэтому мы получаем равенство:
$\frac{2}{x} = \pi n$.
Поскольку дробь $\frac{2}{x}$ не может быть равна нулю, то $n$ не может быть равно нулю, т.е. $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.
Выразим $x$ из этого равенства:
$x = \frac{2}{\pi n}$.
Ответ: $x = \frac{2}{\pi n}$, где $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.

2) Дано уравнение $sin(\pi \sqrt{x}) = -1$.
ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.
Общее решение уравнения $sin(t) = -1$ дается формулой $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = \pi \sqrt{x}$, следовательно, мы имеем:
$\pi \sqrt{x} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$\sqrt{x} = -\frac{1}{2} + 2k$.
Поскольку арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен ($\sqrt{x} \ge 0$), правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:
$-\frac{1}{2} + 2k \ge 0$
$2k \ge \frac{1}{2}$
$k \ge \frac{1}{4}$.
Так как $k$ — целое число, оно может принимать значения $1, 2, 3, \ldots$. То есть $k \in \mathbb{N}$ (натуральные числа).
Теперь, чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения $\sqrt{x} = 2k - \frac{1}{2}$ в квадрат:
$x = (2k - \frac{1}{2})^2 = (\frac{4k - 1}{2})^2$.
Ответ: $x = (\frac{4k - 1}{2})^2$, где $k \in \mathbb{N}$.

3) Дано уравнение $sin(cos(x)) = 0.5$.
Сделаем замену $t = cos(x)$. Уравнение примет вид $sin(t) = 0.5$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$.
Общее решение уравнения $sin(t) = 0.5$ (или $sin(t) = \frac{1}{2}$) имеет две серии решений:
$t = \frac{\pi}{6} + 2\pi m$
$t = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi m = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Теперь необходимо отобрать те значения $t$, которые принадлежат отрезку $[-1, 1]$.
Для первой серии $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi m$:
При $m = 0$, $t = \frac{\pi}{6}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $t \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52$. Это значение удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$.
При $m \ge 1$ или $m \le -1$ значения $t$ будут выходить за пределы отрезка $[-1, 1]$.
Для второй серии $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$:
При $m = 0$, $t = \frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \times 3.14}{6} \approx 2.61$. Это значение не входит в отрезок $[-1, 1]$.
При других целых $m$ значения $t$ также не будут принадлежать отрезку $[-1, 1]$.
Таким образом, единственное подходящее значение для $t$ — это $t = \frac{\pi}{6}$.
Возвращаемся к исходной переменной: $cos(x) = \frac{\pi}{6}$.
Поскольку значение $\frac{\pi}{6} \approx 0.52$ находится в пределах от $-1$ до $1$, это уравнение имеет решения.
Общее решение для $cos(x) = a$ есть $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x = \pm \arccos(\frac{\pi}{6}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{\pi}{6}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

29.12. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{3\pi}{\sqrt{x}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\cos (\pi \sin x) = 0$.

1)

Дано уравнение $ \sin\left(\frac{3\pi}{\sqrt{x}}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется тем, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Таким образом, $ x > 0 $.

Общее решение уравнения $ \sin(y) = a $ имеет вид $ y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
В данном случае $ y = \frac{3\pi}{\sqrt{x}} $ и $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Поскольку $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $, получаем:

$ \frac{3\pi}{\sqrt{x}} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi k $

$ \frac{3\pi}{\sqrt{x}} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k $

Разделим обе части уравнения на $ \pi $:

$ \frac{3}{\sqrt{x}} = \frac{(-1)^{k+1}}{3} + k $

Так как по ОДЗ $ x > 0 $, то $ \sqrt{x} > 0 $, и левая часть уравнения $ \frac{3}{\sqrt{x}} $ всегда положительна. Следовательно, правая часть также должна быть положительной:

$ k + \frac{(-1)^{k+1}}{3} > 0 $

Проанализируем это неравенство для целых $ k $. Если $ k \le 0 $, неравенство не выполняется (например, при $ k=0 $ получаем $ -\frac{1}{3} < 0 $). Если $ k \ge 1 $, то минимальное значение левой части достигается при $ k=2 $ и равно $ 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} > 0 $. Значит, неравенство выполняется для всех натуральных $ k $, т.е. $ k \in \mathbb{N} $.

Теперь выразим $ x $. Преобразуем правую часть к общему знаменателю:

$ \frac{3}{\sqrt{x}} = \frac{3k + (-1)^{k+1}}{3} $

Отсюда находим $ \sqrt{x} $:

$ \sqrt{x} = \frac{9}{3k + (-1)^{k+1}} $

Возводя обе части в квадрат, получаем решение для $ x $:

$ x = \left(\frac{9}{3k + (-1)^{k+1}}\right)^2 = \frac{81}{(3k + (-1)^{k+1})^2} $

Ответ: $ x = \frac{81}{(3k + (-1)^{k+1})^2}, k \in \mathbb{N} $

2)

Дано уравнение $ \cos(\pi \sin x) = 0 $.

Общее решение уравнения $ \cos(y) = 0 $ имеет вид $ y = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ y = \pi \sin x $, следовательно:

$ \pi \sin x = \frac{\pi}{2} + \pi n $

Разделим обе части на $ \pi $:

$ \sin x = \frac{1}{2} + n $

Область значений функции синус ограничена: $ -1 \le \sin x \le 1 $. Таким образом, выражение $ \frac{1}{2} + n $ должно находиться в этих пределах:

$ -1 \le \frac{1}{2} + n \le 1 $

Решим это двойное неравенство относительно $ n $:

$ -1 - \frac{1}{2} \le n \le 1 - \frac{1}{2} $

$ -\frac{3}{2} \le n \le \frac{1}{2} $

Поскольку $ n $ должно быть целым числом ($ n \in \mathbb{Z} $), возможны только два значения: $ n = -1 $ и $ n = 0 $.

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: $ n = 0 $.

$ \sin x = \frac{1}{2} $

Решениями этого уравнения являются $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2: $ n = -1 $.

$ \sin x = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} $

Решениями этого уравнения являются $ x = (-1)^m \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi m = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Объединяя все найденные серии решений, мы получаем четыре точки на единичной окружности: $ \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6} $ (или $ \frac{11\pi}{6} $), и $ \frac{7\pi}{6} $. Эти серии можно представить в более компактной форме:

$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Сначала найдём все корни уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$. Общее решение этого уравнения можно записать в виде двух серий: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

По условию задачи, промежуток $[-\frac{\pi}{2}; a]$ должен содержать не менее четырёх корней этого уравнения. Левая граница промежутка фиксирована. Нам нужно найти все корни, которые больше или равны $-\frac{\pi}{2}$, и расположить их в порядке возрастания.

Выпишем значения корней для разных целых $k$:

• При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$. Оба этих значения меньше, чем $-\frac{\pi}{2}$ (так как $-\frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{6}$).
• При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$. Оба корня больше $-\frac{\pi}{2}$.
• При $k = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$.
• При $k = 2$: $x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6}$ и так далее.

Таким образом, корни уравнения, которые больше или равны $-\frac{\pi}{2}$, в порядке возрастания, следующие: $x_1 = \frac{\pi}{6}$ $x_2 = \frac{5\pi}{6}$ $x_3 = \frac{13\pi}{6}$ $x_4 = \frac{17\pi}{6}$ $x_5 = \frac{25\pi}{6}$ ...

Чтобы промежуток $[-\frac{\pi}{2}; a]$ содержал не менее четырёх корней, его правая граница $a$ должна быть не меньше, чем четвёртый корень $x_4$. Все четыре корня ($x_1, x_2, x_3, x_4$) уже больше левой границы $-\frac{\pi}{2}$, поэтому достаточно выполнения условия: $a \ge x_4$ $a \ge \frac{17\pi}{6}$

В условии задачи требуется найти положительные значения параметра $a$. Так как $\frac{17\pi}{6} > 0$, все значения $a$, удовлетворяющие неравенству $a \ge \frac{17\pi}{6}$, являются положительными.

Ответ: $a \in [\frac{17\pi}{6}; +\infty)$.

29.14. При каких отрицательных значениях параметра $a$ промежуток $[a; 0]$ содержит не менее трёх корней уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$?

Сначала решим уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$. Все его решения можно представить в виде двух серий: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

По условию, параметр $a$ отрицателен, поэтому мы ищем корни, принадлежащие промежутку $[a; 0]$. Это означает, что нас интересуют только неположительные корни ($x \le 0$). Выпишем несколько наибольших из них в порядке убывания:

$x_1 = -\frac{\pi}{6}$ (при $k=0$)

$x_2 = -\frac{5\pi}{6}$ (при $n=0$)

$x_3 = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$ (при $k=-1$)

$x_4 = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6}$ (при $n=-1$)

и так далее.

Промежуток $[a; 0]$ должен содержать не менее трёх корней. Для этого необходимо и достаточно, чтобы третий по величине неположительный корень, то есть $x_3 = -\frac{13\pi}{6}$, принадлежал этому промежутку. Если он принадлежит, то и два больших корня ($x_1$ и $x_2$) также будут принадлежать этому промежутку.

Условие принадлежности корня $x_3 = -\frac{13\pi}{6}$ промежутку $[a; 0]$ выглядит как $a \le -\frac{13\pi}{6} \le 0$. Правая часть этого двойного неравенства очевидна. Таким образом, для параметра $a$ должно выполняться условие $a \le -\frac{13\pi}{6}$. Все такие значения $a$ являются отрицательными, что соответствует условию задачи.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{13\pi}{6}]$

29.15. Определите количество корней уравнения $ \sin x = a $ в зависимости от значения параметра $ a $ на промежутке:

1) $ \left[0; \frac{11\pi}{6}\right]; $

2) $ \left(\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}\right]; $

3) $ \left[-\frac{\pi}{3}; 2\pi\right]. $

Для решения задачи необходимо проанализировать график функции $y = \sin(x)$ на каждом из заданных промежутков и определить, сколько раз горизонтальная прямая $y = a$ пересекает этот график в зависимости от значения параметра $a$.

1) Промежуток $[0; \frac{11\pi}{6}]$

На этом отрезке функция $y=\sin(x)$ начинает со значения $\sin(0) = 0$, возрастает до максимума $1$ в точке $x=\frac{\pi}{2}$, затем убывает до минимума $-1$ в точке $x=\frac{3\pi}{2}$ и возрастает до значения $\sin(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ в конце отрезка.

• Если $|a| > 1$, уравнение не имеет корней, так как область значений синуса $[-1, 1]$.
• Если $a = 1$, есть один корень $x = \frac{\pi}{2}$.
• Если $a \in [0, 1)$, прямая $y=a$ пересекает график дважды на интервале $(0, \pi)$. Оба корня принадлежат заданному промежутку. Следовательно, 2 корня.
• Если $a \in (-\frac{1}{2}, 0)$, есть один корень на интервале $(\pi, 2\pi)$. Конкретно, на $(\pi, \frac{7\pi}{6})$. Второй корень из этой серии $2\pi - \arcsin|a|$ будет больше $\frac{11\pi}{6}$, поэтому он не входит в промежуток. Следовательно, 1 корень.
• Если $a = -\frac{1}{2}$, есть два корня: $x = \frac{7\pi}{6}$ и $x = \frac{11\pi}{6}$. Оба принадлежат отрезку. Следовательно, 2 корня.
• Если $a \in (-1, -\frac{1}{2})$, есть два корня на интервале $(\pi, 2\pi)$, и оба они меньше $\frac{11\pi}{6}$. Следовательно, 2 корня.
• Если $a = -1$, есть один корень $x = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ:
- нет корней, если $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$;
- 1 корень, если $a \in (-\frac{1}{2}, 0) \cup \{-1, 1\}$;
- 2 корня, если $a \in (-1, -\frac{1}{2}] \cup [0, 1)$.

2) Промежуток $(\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}]$

На этом промежутке функция $y=\sin(x)$ начинается от значения $\sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (не включая эту точку), достигает максимума $1$ при $x=\frac{\pi}{2}$, убывает до минимума $-1$ при $x=\frac{3\pi}{2}$ и возрастает до $\sin(\frac{7\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (включая эту точку).

• Если $|a| > 1$, корней нет.
• Если $a=1$, есть один корень $x=\frac{\pi}{2}$.
• Если $a \in (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$, есть два корня, симметричные относительно $x=\frac{\pi}{2}$.
• Если $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$, есть один корень $x=\frac{3\pi}{4}$, так как корень $x=\frac{\pi}{4}$ не входит в промежуток.
• Если $a \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$, есть один корень на участке $(\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4})$.
• Если $a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, есть два корня: $x=\frac{5\pi}{4}$ и $x=\frac{7\pi}{4}$.
• Если $a \in (-1, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, есть два корня, симметричные относительно $x=\frac{3\pi}{2}$.
• Если $a = -1$, есть один корень $x=\frac{3\pi}{2}$.

Ответ:
- нет корней, если $|a|>1$;
- 1 корень, если $a \in (-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}] \cup \{-1, 1\}$;
- 2 корня, если $a \in (-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$.

3) Промежуток $[-\frac{\pi}{3}; 2\pi]$

На этом отрезке, длина которого больше $2\pi$, функция $y=\sin(x)$ начинается со значения $\sin(-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, проходит через полный цикл от $0$ до $2\pi$ и заканчивается в точке $x=2\pi$ со значением $\sin(2\pi)=0$.

• Если $|a| > 1$, корней нет.
• Если $a = 1$, есть один корень $x=\frac{\pi}{2}$.
• Если $a \in (0, 1)$, есть два корня на интервале $(0, \pi)$.
• Если $a = 0$, есть три корня: $x=0, \pi, 2\pi$.
• Если $a \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, есть три корня: один на $(-\frac{\pi}{3}, 0)$, и два на $(\pi, 2\pi)$.
• Если $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, есть три корня: $x=-\frac{\pi}{3}$, $x=\frac{4\pi}{3}$ и $x=\frac{5\pi}{3}$.
• Если $a \in (-1, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, есть два корня на интервале $(\pi, 2\pi)$.
• Если $a = -1$, есть один корень $x=\frac{3\pi}{2}$.

Ответ:
- нет корней, если $|a|>1$;
- 1 корень, если $a=1$ или $a=-1$;
- 2 корня, если $a \in (-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (0, 1)$;
- 3 корня, если $a \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0]$.

29.16. Определите количество корней уравнения $ \sin x = a $ в зависимости от значения параметра $a$ на промежутке:

1) $ \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right]$;

2) $ \left[-\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}\right]$.

1)

Для определения количества корней уравнения $ \sin x = a $ на промежутке $ \left(-\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}\right] $, исследуем поведение функции $ y = \sin x $ на этом промежутке.

1. Найдем значения функции на концах промежутка и в точках экстремума.
Значения на концах:
При $ x \to -\frac{\pi}{6} $ (справа), $ \sin x \to \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} $. Поскольку точка $ -\frac{\pi}{6} $ не входит в промежуток, значение $ -1/2 $ не достигается.
При $ x = \frac{2\pi}{3} $, $ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

2. Найдем экстремумы. Производная $ y' = (\sin x)' = \cos x $.
$ \cos x = 0 $ при $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
В заданный промежуток $ \left(-\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}\right) $ попадает только точка $ x = \frac{\pi}{2} $.
При переходе через $ x = \frac{\pi}{2} $ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
Значение функции в точке максимума: $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $.

3. Проанализируем монотонность функции:
- На промежутке $ \left(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right) $ функция $ \sin x $ возрастает от $ -1/2 $ (не включая) до $ 1 $.
- На промежутке $ \left[\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3}\right] $ функция $ \sin x $ убывает от $ 1 $ до $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

4. Определим количество корней уравнения $ \sin x = a $ (количество пересечений графика $ y = \sin x $ с горизонтальной прямой $ y = a $):
- Если $ a > 1 $ или $ a \le -\frac{1}{2} $, прямая $ y=a $ не пересекает график функции на данном промежутке. Корней нет.
- Если $ a = 1 $, прямая касается вершины графика в точке $ x = \frac{\pi}{2} $. Один корень.
- Если $ \frac{\sqrt{3}}{2} \le a < 1 $, прямая пересекает график на участке возрастания и на участке убывания. Два корня. (При $ a=\frac{\sqrt{3}}{2} $ корни $ x=\frac{\pi}{3} $ и $ x=\frac{2\pi}{3} $).
- Если $ -\frac{1}{2} < a < \frac{\sqrt{3}}{2} $, прямая пересекает график только на участке возрастания. Один корень.

Ответ: если $ a \le -1/2 $ или $ a > 1 $, корней нет; если $ -1/2 < a < \sqrt{3}/2 $ или $ a=1 $, то один корень; если $ \sqrt{3}/2 \le a < 1 $, то два корня.

2)

Для определения количества корней уравнения $ \sin x = a $ на промежутке $ \left[\frac{5\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}\right] $, исследуем поведение функции $ y = \sin x $ на этом промежутке.

1. Найдем значения функции на концах промежутка:
При $ x = \frac{5\pi}{6} $, $ \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $.
При $ x = \frac{3\pi}{2} $, $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $.

2. Исследуем монотонность функции. Производная $ y' = \cos x $.
На всем интервале $ \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}\right) $ аргумент $ x $ находится во второй и третьей координатных четвертях, где $ \cos x < 0 $.
Следовательно, функция $ y = \sin x $ строго убывает на всем промежутке $ \left[\frac{5\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}\right] $.

3. Область значений функции на данном отрезке: $ \left[\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right); \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right] = \left[-1; \frac{1}{2}\right] $.
Поскольку функция строго монотонна на отрезке, любое значение из своей области значений она принимает ровно один раз.

4. Определим количество корней в зависимости от $ a $:
- Если $ a \in \left[-1; \frac{1}{2}\right] $, то уравнение $ \sin x = a $ имеет ровно один корень.
- Если $ a < -1 $ или $ a > \frac{1}{2} $, то $ a $ не попадает в область значений функции, и уравнение не имеет корней.

Ответ: если $ a < -1 $ или $ a > 1/2 $, корней нет; если $ -1 \le a \le 1/2 $, один корень.

29.17. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2})(\sin x - a) = 0$ на промежутке $[0; 2\pi)$?

Исходное уравнение $(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2})(\sin x - a) = 0$ равносильно совокупности (объединению решений) двух уравнений:

1) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

2) $\sin x = a$

Найдём количество корней каждого уравнения на промежутке $[0; 2\pi]$ и учтём возможные совпадения корней.

Решение уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

На промежутке $[0; 2\pi]$ это уравнение имеет ровно два корня: $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$. Эти два корня не зависят от параметра $a$.

Решение уравнения $\sin x = a$

Количество корней этого уравнения на промежутке $[0; 2\pi]$ зависит от значения $a$:

- Если $|a| > 1$, корней нет.

- Если $a = 1$ или $a = -1$, есть один корень ($x = \frac{\pi}{2}$ или $x = \frac{3\pi}{2}$ соответственно).

- Если $a=0$, есть три корня ($x=0, x=\pi, x=2\pi$).

- Если $a \in (-1, 0) \cup (0, 1)$, есть два корня.

Анализ общего числа корней

Общее число корней исходного уравнения — это число уникальных корней из обоих уравнений. Необходимо проверить, при каких значениях $a$ корни уравнений совпадают. Корень первого уравнения будет также корнем второго, если его синус равен $a$.

1. Для корня $x_1 = \frac{\pi}{4}$: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Если $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $x_1$ является общим корнем.

2. Для корня $x_2 = \frac{7\pi}{4}$: $\sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Если $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $x_2$ является общим корнем.

Рассмотрим все случаи в зависимости от $a$.

1. $|a| > 1$: Уравнение $\sin x = a$ корней не имеет. Общее число корней равно числу корней первого уравнения, то есть 2.

2. $a = 1$ или $a = -1$: Уравнение $\sin x = a$ имеет 1 корень ($x=\frac{\pi}{2}$ или $x=\frac{3\pi}{2}$). Эти корни не совпадают с корнями первого уравнения. Общее число корней: $2 + 1 = 3$.

3. $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$: Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дает корни $\{\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$. Уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дает корни $\{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\}$. Имеется один общий корень $x = \frac{\pi}{4}$. Уникальные корни: $\{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$. Всего 3 корня.

4. $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$: Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ дает корни $\{\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$. Уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ дает корни $\{\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$. Имеется один общий корень $x = \frac{7\pi}{4}$. Уникальные корни: $\{\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$. Всего 3 корня.

5. $a = 0$: Уравнение $\sin x = 0$ имеет 3 корня $\{0, \pi, 2\pi\}$. Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет 2 корня $\{\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\}$. Общих корней нет. Общее число корней: $2 + 3 = 5$.

6. $a \in (-1, 1)$, но $a \notin \{-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\}$: Уравнение $\sin x = a$ имеет 2 корня. Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет 2 корня. Так как $a$ не равно $\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$, общих корней нет. Общее число корней: $2 + 2 = 4$.

Ответ:

• при $a = 0$ — 5 корней;

• при $a \in (-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ — 4 корня;

• при $a \in \{-1, 1, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\}$ — 3 корня;

• при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ — 2 корня.

29.18. Сколько корней в зависимости от значения параметра $a$ имеет уравнение $(\cos x - a)\left(\sin x + \frac{1}{2}\right) = 0$ на промежутке $(0; 2\pi]$?

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$(\cos x - a)\left(\sin x + \frac{1}{2}\right) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{array}{l} \cos x - a = 0, \\ \sin x + \frac{1}{2} = 0. \end{array} \right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[ \begin{array}{l} \cos x = a, \\ \sin x = -\frac{1}{2}. \end{array} \right.$

Нам нужно найти общее количество различных корней этой совокупности на промежутке $(0; 2\pi]$.

1. Решение уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$

На промежутке $(0; 2\pi]$ это уравнение имеет два корня. Используя тригонометрическую окружность, находим, что это углы в III и IV четвертях. Корнями являются $x_1 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ и $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
Эти два корня присутствуют в решении исходного уравнения при любом значении параметра $a$.

2. Решение уравнения $\cos x = a$

Количество корней этого уравнения на промежутке $(0; 2\pi]$ зависит от значения параметра $a$.

• Если $|a| > 1$ (то есть $a < -1$ или $a > 1$), уравнение $\cos x = a$ не имеет корней.
• Если $a = 1$, уравнение $\cos x = 1$ имеет один корень $x = 2\pi$ на данном промежутке.
• Если $a = -1$, уравнение $\cos x = -1$ имеет один корень $x = \pi$ на данном промежутке.
• Если $-1 < a < 1$, уравнение $\cos x = a$ имеет два корня на данном промежутке: $x = \arccos(a)$ и $x = 2\pi - \arccos(a)$.

3. Анализ общего количества корней

Общее количество корней исходного уравнения равно сумме корней обоих уравнений, за вычетом числа совпадающих корней. Выясним, при каких значениях $a$ корни уравнений $\cos x = a$ и $\sin x = -\frac{1}{2}$ совпадают. Это произойдет, если один из корней $x_1 = \frac{7\pi}{6}$ или $x_2 = \frac{11\pi}{6}$ удовлетворяет уравнению $\cos x = a$.

• Если $x = \frac{7\pi}{6}$, то $a = \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Если $x = \frac{11\pi}{6}$, то $a = \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, особые значения параметра $a$, которые нужно рассмотреть отдельно, это $1, -1, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим все случаи для параметра $a$.

При $|a| > 1$, то есть $a \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$:
Уравнение $\cos x = a$ корней не имеет. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет два корня. Совпадений нет. Итого 2 корня.

При $a = 1$:
Уравнение $\cos x = 1$ имеет один корень $x = 2\pi$. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет два корня ($\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$). Корень $x=2\pi$ не совпадает ни с одним из корней второго уравнения, так как $\sin(2\pi) = 0 \neq -\frac{1}{2}$. Общее количество корней: $1 + 2 = 3$.

При $a = -1$:
Уравнение $\cos x = -1$ имеет один корень $x = \pi$. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет два корня. Корень $x=\pi$ не совпадает ни с одним из корней второго уравнения, так как $\sin(\pi) = 0 \neq -\frac{1}{2}$. Общее количество корней: $1 + 2 = 3$.

При $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
Уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два корня: $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{11\pi}{6}$. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет два корня: $x = \frac{7\pi}{6}$ и $x = \frac{11\pi}{6}$. Корень $x = \frac{11\pi}{6}$ является общим. Общее число различных корней: $2 + 2 - 1 = 3$. (Корни: $\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$).

При $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$:
Уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два корня: $x = \frac{5\pi}{6}$ и $x = \frac{7\pi}{6}$. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет два корня: $x = \frac{7\pi}{6}$ и $x = \frac{11\pi}{6}$. Корень $x = \frac{7\pi}{6}$ является общим. Общее число различных корней: $2 + 2 - 1 = 3$. (Корни: $\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$).

При $a \in (-1; 1)$, но $a \neq \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$:
Уравнение $\cos x = a$ имеет два корня. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет два корня. В этом случае совпадений корней нет. Общее количество корней: $2 + 2 = 4$.

Ответ:

• при $a \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$ — 2 корня;
• при $a \in \left\{-1; -\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right\}$ — 3 корня;
• при $a \in \left(-1; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cup \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right)$ — 4 корня.