Номер 29.11, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.11. Решите уравнение:

1) $\sin^2 \frac{2}{x} = 0;$

2) $\sin \pi \sqrt{x} = -1;$

3) $\sin(\cos x) = 0,5.$

1) Дано уравнение $sin^2\frac{2}{x} = 0$.
Это уравнение равносильно уравнению $sin\frac{2}{x} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$.
Общее решение уравнения $sin(t) = 0$ дается формулой $t = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — целое число).
В нашем случае аргументом синуса является $t = \frac{2}{x}$, поэтому мы получаем равенство:
$\frac{2}{x} = \pi n$.
Поскольку дробь $\frac{2}{x}$ не может быть равна нулю, то $n$ не может быть равно нулю, т.е. $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.
Выразим $x$ из этого равенства:
$x = \frac{2}{\pi n}$.
Ответ: $x = \frac{2}{\pi n}$, где $n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$.

2) Дано уравнение $sin(\pi \sqrt{x}) = -1$.
ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.
Общее решение уравнения $sin(t) = -1$ дается формулой $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = \pi \sqrt{x}$, следовательно, мы имеем:
$\pi \sqrt{x} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$\sqrt{x} = -\frac{1}{2} + 2k$.
Поскольку арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен ($\sqrt{x} \ge 0$), правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:
$-\frac{1}{2} + 2k \ge 0$
$2k \ge \frac{1}{2}$
$k \ge \frac{1}{4}$.
Так как $k$ — целое число, оно может принимать значения $1, 2, 3, \ldots$. То есть $k \in \mathbb{N}$ (натуральные числа).
Теперь, чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения $\sqrt{x} = 2k - \frac{1}{2}$ в квадрат:
$x = (2k - \frac{1}{2})^2 = (\frac{4k - 1}{2})^2$.
Ответ: $x = (\frac{4k - 1}{2})^2$, где $k \in \mathbb{N}$.

3) Дано уравнение $sin(cos(x)) = 0.5$.
Сделаем замену $t = cos(x)$. Уравнение примет вид $sin(t) = 0.5$.
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$.
Общее решение уравнения $sin(t) = 0.5$ (или $sin(t) = \frac{1}{2}$) имеет две серии решений:
$t = \frac{\pi}{6} + 2\pi m$
$t = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi m = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Теперь необходимо отобрать те значения $t$, которые принадлежат отрезку $[-1, 1]$.
Для первой серии $t = \frac{\pi}{6} + 2\pi m$:
При $m = 0$, $t = \frac{\pi}{6}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $t \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52$. Это значение удовлетворяет условию $-1 \le t \le 1$.
При $m \ge 1$ или $m \le -1$ значения $t$ будут выходить за пределы отрезка $[-1, 1]$.
Для второй серии $t = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$:
При $m = 0$, $t = \frac{5\pi}{6} \approx \frac{5 \times 3.14}{6} \approx 2.61$. Это значение не входит в отрезок $[-1, 1]$.
При других целых $m$ значения $t$ также не будут принадлежать отрезку $[-1, 1]$.
Таким образом, единственное подходящее значение для $t$ — это $t = \frac{\pi}{6}$.
Возвращаемся к исходной переменной: $cos(x) = \frac{\pi}{6}$.
Поскольку значение $\frac{\pi}{6} \approx 0.52$ находится в пределах от $-1$ до $1$, это уравнение имеет решения.
Общее решение для $cos(x) = a$ есть $x = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x = \pm \arccos(\frac{\pi}{6}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{\pi}{6}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.