Номер 29.9, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.9. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2$;

2) $\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x = 1$;

3) $3 \sin \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 3$.

1) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2$

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a = \sqrt{3}$, $b = 1$, $c = 2$.
Для его решения разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.
Получим:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{2}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = 1$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos x = 1$

Левая часть уравнения является формулой синуса суммы: $\sin(x+\alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$.
Таким образом, уравнение принимает вид:

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого:
$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{3\pi - \pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} \cos x = 1$

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a = \sqrt{2}$, $b = -\sqrt{2}$, $c = 1$.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$.
Получим:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{4}) \sin x - \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = \frac{1}{2}$

Левая часть уравнения является формулой синуса разности: $\sin(x-\alpha) = \sin x \cos \alpha - \cos x \sin \alpha$.
Таким образом, уравнение принимает вид:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения имеет вид:
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$

Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Это решение можно также представить в виде двух серий:
При четных $k=2n$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi+2\pi}{12} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$.
При нечетных $k=2n+1$: $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi(2n+1) = \frac{3\pi-2\pi}{12} + 2\pi n + \pi = \frac{\pi}{12} + \pi + 2\pi n = \frac{13\pi}{12} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $3 \sin \frac{x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} = 3$

Это уравнение вида $a \sin y + b \cos y = c$, где $y = \frac{x}{2}$, $a = 3$, $b = \sqrt{3}$, $c = 3$.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Получим:

$\frac{3}{2\sqrt{3}} \sin \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \cos \frac{x}{2} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Упростим коэффициенты:
$\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$
Уравнение примет вид:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}) \sin \frac{x}{2} + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Используя формулу синуса суммы, получим:

$\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения можно записать в виде совокупности двух серий:
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ или $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим каждую серию отдельно:

1) $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi - \pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x = 2(\frac{\pi}{6} + 2\pi n) = \frac{\pi}{3} + 4\pi n$.

2) $\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$\frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{4\pi - \pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = 2(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \pi + 4\pi n$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n, x = \pi + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.