Номер 29.10, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.10. Решите уравнение:

1) $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 1 $;

2) $ \sin x + \cos x = \sqrt{2} $.

1)

Дано уравнение: $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 1 $.

Это линейное тригонометрическое уравнение вида $ a \sin x + b \cos x = c $, где $ a=1, b=-\sqrt{3}, c=1 $. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $:

$ \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{1}{2} $

Заметим, что $ \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3}) $ и $ \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3}) $. Подставим эти значения в уравнение:

$ \sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса разности $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $. В нашем случае $ \alpha = x $ и $ \beta = \frac{\pi}{3} $.

$ \sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение можно представить в виде совокупности двух серий:

$ \begin{cases} x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \\ x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Из первой серии находим $x$:

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi + 2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

Из второй серии находим $x$:

$ x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{5\pi + 2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k $

Таким образом, получаем две серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} $.

2)

Дано уравнение: $ \sin x + \cos x = \sqrt{2} $.

Это также линейное тригонометрическое уравнение с коэффициентами $ a=1, b=1 $. Разделим обе части на $ \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.

$ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $

$ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1 $

Заметим, что $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4}) $ и $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4}) $. Подставим эти значения:

$ \sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = 1 $

Используем формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $, где $ \alpha=x, \beta=\frac{\pi}{4} $.

$ \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1 $

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Выразим $ x $:

$ x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

$ x = \frac{2\pi - \pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.