Номер 29.16, страница 214 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.16. Определите количество корней уравнения $ \sin x = a $ в зависимости от значения параметра $a$ на промежутке:

1) $ \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{3}\right]$;

2) $ \left[-\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}\right]$.

1)

Для определения количества корней уравнения $ \sin x = a $ на промежутке $ \left(-\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}\right] $, исследуем поведение функции $ y = \sin x $ на этом промежутке.

1. Найдем значения функции на концах промежутка и в точках экстремума.
Значения на концах:
При $ x \to -\frac{\pi}{6} $ (справа), $ \sin x \to \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} $. Поскольку точка $ -\frac{\pi}{6} $ не входит в промежуток, значение $ -1/2 $ не достигается.
При $ x = \frac{2\pi}{3} $, $ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

2. Найдем экстремумы. Производная $ y' = (\sin x)' = \cos x $.
$ \cos x = 0 $ при $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.
В заданный промежуток $ \left(-\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}\right) $ попадает только точка $ x = \frac{\pi}{2} $.
При переходе через $ x = \frac{\pi}{2} $ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума.
Значение функции в точке максимума: $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $.

3. Проанализируем монотонность функции:
- На промежутке $ \left(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right) $ функция $ \sin x $ возрастает от $ -1/2 $ (не включая) до $ 1 $.
- На промежутке $ \left[\frac{\pi}{2}; \frac{2\pi}{3}\right] $ функция $ \sin x $ убывает от $ 1 $ до $ \frac{\sqrt{3}}{2} $.

4. Определим количество корней уравнения $ \sin x = a $ (количество пересечений графика $ y = \sin x $ с горизонтальной прямой $ y = a $):
- Если $ a > 1 $ или $ a \le -\frac{1}{2} $, прямая $ y=a $ не пересекает график функции на данном промежутке. Корней нет.
- Если $ a = 1 $, прямая касается вершины графика в точке $ x = \frac{\pi}{2} $. Один корень.
- Если $ \frac{\sqrt{3}}{2} \le a < 1 $, прямая пересекает график на участке возрастания и на участке убывания. Два корня. (При $ a=\frac{\sqrt{3}}{2} $ корни $ x=\frac{\pi}{3} $ и $ x=\frac{2\pi}{3} $).
- Если $ -\frac{1}{2} < a < \frac{\sqrt{3}}{2} $, прямая пересекает график только на участке возрастания. Один корень.

Ответ: если $ a \le -1/2 $ или $ a > 1 $, корней нет; если $ -1/2 < a < \sqrt{3}/2 $ или $ a=1 $, то один корень; если $ \sqrt{3}/2 \le a < 1 $, то два корня.

2)

Для определения количества корней уравнения $ \sin x = a $ на промежутке $ \left[\frac{5\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}\right] $, исследуем поведение функции $ y = \sin x $ на этом промежутке.

1. Найдем значения функции на концах промежутка:
При $ x = \frac{5\pi}{6} $, $ \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} $.
При $ x = \frac{3\pi}{2} $, $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $.

2. Исследуем монотонность функции. Производная $ y' = \cos x $.
На всем интервале $ \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}\right) $ аргумент $ x $ находится во второй и третьей координатных четвертях, где $ \cos x < 0 $.
Следовательно, функция $ y = \sin x $ строго убывает на всем промежутке $ \left[\frac{5\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}\right] $.

3. Область значений функции на данном отрезке: $ \left[\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right); \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right] = \left[-1; \frac{1}{2}\right] $.
Поскольку функция строго монотонна на отрезке, любое значение из своей области значений она принимает ровно один раз.

4. Определим количество корней в зависимости от $ a $:
- Если $ a \in \left[-1; \frac{1}{2}\right] $, то уравнение $ \sin x = a $ имеет ровно один корень.
- Если $ a < -1 $ или $ a > \frac{1}{2} $, то $ a $ не попадает в область значений функции, и уравнение не имеет корней.

Ответ: если $ a < -1 $ или $ a > 1/2 $, корней нет; если $ -1 \le a \le 1/2 $, один корень.