Номер 29.4, страница 213 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

29.4. Решите уравнение:

1) $\sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $\sin \frac{x}{7} = 0$;

3) $\sin \frac{2x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1) Решим уравнение $ \sin 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \sin t = a $. Его общее решение записывается формулой $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
В данном случае $ t = 2x $ и $ a = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Значение арксинуса: $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.
Подставляем значения в общую формулу:
$ 2x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Для того чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$ x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n \right) $
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \sin \frac{x}{7} = 0 $.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Синус равен нулю, когда его аргумент равен целому числу, умноженному на $ \pi $.
Формула решения для $ \sin t = 0 $ имеет вид $ t = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
В нашем случае $ t = \frac{x}{7} $.
Следовательно:
$ \frac{x}{7} = \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 7:
$ x = 7\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = 7\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

3) Решим уравнение $ \sin \frac{2x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Снова используем общую формулу для решения уравнения $ \sin t = a $: $ t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Здесь $ t = \frac{2x}{5} $ и $ a = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Найдём значение арксинуса, используя свойство нечетности этой функции ($ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $):
$ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $.
Подставляем значения в формулу:
$ \frac{2x}{5} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{3}\right) + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Выражение можно упростить, внеся минус в степень $ (-1) $:
$ \frac{2x}{5} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Теперь выразим $x$. Сначала умножим обе части на 5:
$ 2x = 5 \left( (-1)^{n+1} \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \frac{5\pi}{3} + 5\pi n $.
Затем разделим обе части на 2:
$ x = \frac{1}{2} \left( (-1)^{n+1} \frac{5\pi}{3} + 5\pi n \right) = (-1)^{n+1} \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x = (-1)^{n+1} \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi n}{2} $, $ n \in \mathbb{Z} $.