Номер 28.18, страница 208 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.18. При каких значениях параметра $a$ уравнение $(x+a)\left(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0$ имеет единственный корень на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}; 0\right]$?

Данное уравнение $(x+a)\left(\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0$ эквивалентно совокупности двух уравнений:

$\begin{bmatrix}x+a=0 \\\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0\end{bmatrix}$

Нам нужно, чтобы на промежутке $x \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$ эта совокупность имела ровно одно решение.

Рассмотрим каждое уравнение отдельно на заданном промежутке.

1. Решим уравнение $\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$:
$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Общие решения этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем корень, принадлежащий промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$. На этом промежутке (четвертая четверть координатной окружности) косинус принимает все значения от 0 до 1. Значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$ достигается в точке $x_1 = -\frac{\pi}{4}$. Это единственный корень второго уравнения на данном промежутке.

2. Решим уравнение $x+a = 0$:
$x_2 = -a$.
Этот корень зависит от параметра $a$.

Таким образом, исходное уравнение имеет корни $x_1 = -\frac{\pi}{4}$ и $x_2 = -a$. Нам нужно, чтобы на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ был только один корень. Это возможно в двух случаях.

Случай 1: Корни совпадают

Корень от первого уравнения совпадает с корнем от второго:$x_1 = x_2$
$-\frac{\pi}{4} = -a$
$a = \frac{\pi}{4}$
При этом значении $a$ оба уравнения дают один и тот же корень $x = -\frac{\pi}{4}$, который принадлежит заданному промежутку. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: Корень второго уравнения не принадлежит заданному промежутку

Первое уравнение всегда дает корень $x_1 = -\frac{\pi}{4}$ на промежутке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$. Чтобы этот корень был единственным, корень второго уравнения $x_2 = -a$ не должен принадлежать этому промежутку.

Найдем, при каких $a$ корень $x_2 = -a$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$:$-\frac{\pi}{2} \le -a \le 0$
Умножим неравенство на -1, изменив знаки на противоположные:$0 \le a \le \frac{\pi}{2}$
Значит, корень $x_2=-a$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ при $a \in [0; \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, корень $x_2 = -a$ не будет принадлежать промежутку $[-\frac{\pi}{2}; 0]$, если $a$ находится вне отрезка $[0; \frac{\pi}{2}]$. То есть, при:$a < 0$ или $a > \frac{\pi}{2}$.

Объединим результаты, полученные в обоих случаях. Уравнение имеет единственный корень, если $a = \frac{\pi}{4}$ (случай 1) или $a < 0$ или $a > \frac{\pi}{2}$ (случай 2).

Заметим, что значение $a = \frac{\pi}{4}$ входит в промежуток $[0; \frac{\pi}{2}]$, который мы исключили во втором случае. Объединение решений дает нам:$a \in (-\infty; 0) \cup \{\frac{\pi}{4}\} \cup (\frac{\pi}{2}; +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup \{\frac{\pi}{4}\} \cup (\frac{\pi}{2}; +\infty)$.