gdz.top
Номер 28.12, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Тригонометрические уравнения и неравенства. Параграф 28. Уравнение cos x = b - номер 28.12, страница 207.
№28.11
№28.12 (с. 207)
Условие. №28.12 (с. 207)
28.12. При каких значениях параметра $a$ имеет решения уравнение
$\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = -a^2 - 1$?
Решение. №28.12 (с. 207)
Уравнение вида $\cos(f(x)) = g(a)$ имеет решения тогда и только тогда, когда значение выражения $g(a)$ принадлежит области значений функции косинус.
Областью значений функции $y = \cos(t)$ является отрезок $[-1; 1]$.
Следовательно, данное уравнение будет иметь решения при тех значениях параметра $a$, при которых правая часть уравнения, выражение $-a^2 - 1$, удовлетворяет условию:
$-1 \le -a^2 - 1 \le 1$
Это двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств:
$\begin{cases} -a^2 - 1 \ge -1 \\ -a^2 - 1 \le 1 \end{cases}$
Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.
1. Решим первое неравенство:
$-a^2 - 1 \ge -1$
Прибавим 1 к обеим частям неравенства:
$-a^2 \ge 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$a^2 \le 0$
Поскольку квадрат любого действительного числа $a$ всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$, единственное значение, удовлетворяющее неравенству $a^2 \le 0$, это $a^2 = 0$. Отсюда следует, что $a = 0$.
2. Решим второе неравенство:
$-a^2 - 1 \le 1$
Прибавим 1 к обеим частям неравенства:
$-a^2 \le 2$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$a^2 \ge -2$
Это неравенство выполняется для любого действительного значения $a$, так как $a^2$ всегда неотрицательно и, следовательно, всегда больше или равно $-2$.
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств. Из первого неравенства мы получили $a=0$, а из второго — $a$ является любым действительным числом. Пересечением этих двух условий является единственное значение $a=0$.
Проверим: если $a=0$, уравнение принимает вид $\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = -1$. Это уравнение имеет решения, например, $x - \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $a=0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 28.12 расположенного на странице 207 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №28.12 (с. 207), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.