Номер 28.8, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.8. Найдите все корни уравнения $\cos \left(x+\frac{\pi}{12}\right)=-\frac{1}{2}$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{\pi}{6}<x<4\pi$.

Сначала найдем общее решение уравнения $cos\left(x + \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{1}{2}$.

Аргумент косинуса $x + \frac{\pi}{12}$ должен быть равен $\pm arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Поскольку $arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, получаем совокупность уравнений: $ \left[ \begin{array}{l} x + \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \\ x + \frac{\pi}{12} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k. \end{array} \right. $

Выразим $x$ из каждого уравнения, получив две серии решений:

1) $x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{12} + 2\pi k = \frac{8\pi - \pi}{12} + 2\pi k = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$.

2) $x = -\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{12} + 2\pi k = \frac{-8\pi - \pi}{12} + 2\pi k = -\frac{9\pi}{12} + 2\pi k = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Теперь необходимо отобрать корни, которые удовлетворяют неравенству $-\frac{\pi}{6} < x < 4\pi$.

Для первой серии корней $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k$ решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{6} < \frac{7\pi}{12} + 2\pi k < 4\pi$.

Разделим все части неравенства на $\pi$:

$-\frac{1}{6} < \frac{7}{12} + 2k < 4$.

Вычтем $\frac{7}{12}$ из всех частей:

$-\frac{1}{6} - \frac{7}{12} < 2k < 4 - \frac{7}{12}$

$-\frac{2}{12} - \frac{7}{12} < 2k < \frac{48}{12} - \frac{7}{12}$

$-\frac{9}{12} < 2k < \frac{41}{12}$

$-\frac{3}{4} < 2k < \frac{41}{12}$.

Разделим на 2:

$-\frac{3}{8} < k < \frac{41}{24}$.

Это неравенство можно записать как $-0,375 < k < 1,708...$. Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k=0$ и $k=1$.

При $k=0$: $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi \cdot 0 = \frac{7\pi}{12}$.

При $k=1$: $x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi \cdot 1 = \frac{7\pi + 24\pi}{12} = \frac{31\pi}{12}$.

Для второй серии корней $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ решим аналогичное неравенство:

$-\frac{\pi}{6} < -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < 4\pi$.

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{6} < -\frac{3}{4} + 2k < 4$.

Прибавим $\frac{3}{4}$ ко всем частям:

$-\frac{1}{6} + \frac{3}{4} < 2k < 4 + \frac{3}{4}$

$-\frac{2}{12} + \frac{9}{12} < 2k < \frac{16}{4} + \frac{3}{4}$

$\frac{7}{12} < 2k < \frac{19}{4}$.

Разделим на 2:

$\frac{7}{24} < k < \frac{19}{8}$.

Это неравенство можно записать как $0,291... < k < 2,375$. Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k=1$ и $k=2$.

При $k=1$: $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 1 = \frac{-3\pi + 8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

При $k=2$: $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot 2 = \frac{-3\pi + 16\pi}{4} = \frac{13\pi}{4}$.

Итак, мы нашли четыре корня, удовлетворяющие заданному неравенству: $\frac{7\pi}{12}$, $\frac{31\pi}{12}$, $\frac{5\pi}{4}$, $\frac{13\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{7\pi}{12}, \frac{5\pi}{4}, \frac{31\pi}{12}, \frac{13\pi}{4}$.