Номер 28.3, страница 206 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.3. Решите уравнение:

1) $cos 3x = -\frac{1}{2}$;

2) $cos \frac{5}{6} x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $cos 6x = 1$;

4) $cos \frac{2\pi x}{3} = 0$;

5) $cos 9x = -\frac{1}{5}$;

6) $cos \left(-\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) Решим уравнение $cos(3x) = -\frac{1}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 3x$ и $a = -\frac{1}{2}$.
Найдем $arccos(-\frac{1}{2})$. Мы знаем, что $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$. Так как $arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то $arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем это значение в общую формулу:
$3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \pm \frac{2\pi}{3 \cdot 3} + \frac{2\pi k}{3} = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $cos(\frac{5}{6}x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Используем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = \frac{5}{6}x$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем в формулу:
$\frac{5}{6}x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{6}{5}$:
$x = \frac{6}{5} \cdot (\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k) = \pm \frac{6\pi}{5 \cdot 6} + \frac{6 \cdot 2\pi k}{5} = \pm \frac{\pi}{5} + \frac{12\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{5} + \frac{12\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $cos(6x) = 1$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Равенство $cos(t) = 1$ выполняется, когда $t = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 6x$.
$6x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 6:
$x = \frac{2\pi k}{6} = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $cos(\frac{2\pi x}{3}) = 0$.
Это частный случай тригонометрического уравнения. Равенство $cos(t) = 0$ выполняется, когда $t = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = \frac{2\pi x}{3}$.
$\frac{2\pi x}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{3}{2\pi}$:
$x = \frac{3}{2\pi} \cdot (\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{3\pi}{2\pi \cdot 2} + \frac{3\pi k}{2\pi} = \frac{3}{4} + \frac{3k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{3}{4} + \frac{3k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $cos(9x) = -\frac{1}{5}$.
Используем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = 9x$ и $a = -\frac{1}{5}$.
Значение $arccos(-\frac{1}{5})$ не является табличным, поэтому оставляем его в таком виде.
$9x = \pm arccos(-\frac{1}{5}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 9:
$x = \pm \frac{1}{9}arccos(-\frac{1}{5}) + \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{9}arccos(-\frac{1}{5}) + \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $cos(-\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Так как функция косинус является четной, то $cos(-t) = cos(t)$. Поэтому уравнение можно переписать в виде:
$cos(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используем общую формулу решения $t = \pm arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = \frac{x}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Значение $arccos(\frac{\sqrt{3}}{3})$ не является табличным, поэтому оставляем его в таком виде.
$\frac{x}{3} = \pm arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Умножим обе части на 3:
$x = \pm 3arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm 3arccos(\frac{\sqrt{3}}{3}) + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.