Номер 28.4, страница 207 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

28.4. Решите уравнение:

1) $\cos 2x = \frac{1}{2}$;

2) $\cos \frac{x}{5} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $\cos \frac{3x}{4} = -1$.

1) $cos(2x) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $cos(t) = a$. Его общее решение находится по формуле $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном уравнении $t = 2x$ и $a = \frac{1}{2}$.

Значение арккосинуса: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставим известные значения в формулу общего решения:

$2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pm\frac{\pi}{3}}{2} + \frac{2\pi n}{2}$

$x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $cos(\frac{x}{5}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Используем ту же общую формулу для решения уравнений вида $cos(t) = a$: $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $t = \frac{x}{5}$ и $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем значение арккосинуса, используя свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$:

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{x}{5} = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 5:

$x = 5 \cdot (\pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$

$x = \pm\frac{25\pi}{6} + 10\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{25\pi}{6} + 10\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $cos(\frac{3x}{4}) = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Общее решение для уравнения $cos(t) = -1$ имеет вид $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{3x}{4}$.

Приравняем аргумент косинуса к общему решению:

$\frac{3x}{4} = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, сначала умножим обе части уравнения на 4:

$3x = 4(\pi + 2\pi n)$

$3x = 4\pi + 8\pi n$

Теперь разделим обе части на 3:

$x = \frac{4\pi + 8\pi n}{3}$

$x = \frac{4\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{4\pi}{3} + \frac{8\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.