Номер 27.27, страница 201 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.27. Вычислите сумму:

1) $S = \sin 2\alpha + \sin 4\alpha + \ldots + \sin 2n\alpha;$

2) $S = \cos^2\alpha + \cos^2 3\alpha + \ldots + \cos^2 (2n - 1)\alpha.$

Данная сумма представляет собой сумму синусов углов, составляющих арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 2\alpha$ и разностью $d = 2\alpha$. Для вычисления таких сумм существует стандартный метод.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sin \alpha = 0$, то есть $\alpha = k\pi$ для любого целого $k$. В этом случае каждый член суммы имеет вид $\sin(2m\alpha) = \sin(2mk\pi) = 0$. Следовательно, вся сумма равна нулю: $S = 0$.

Случай 2: $\sin \alpha \neq 0$. Умножим обе части исходного равенства на $2\sin \alpha$:

$2S \sin \alpha = 2\sin \alpha \sin 2\alpha + 2\sin \alpha \sin 4\alpha + \dots + 2\sin \alpha \sin 2n\alpha$

Воспользуемся тригонометрической формулой произведения синусов: $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$. Применим ее к каждому члену произведения:

$2\sin \alpha \sin(2k\alpha) = \cos(2k\alpha - \alpha) - \cos(2k\alpha + \alpha) = \cos((2k-1)\alpha) - \cos((2k+1)\alpha)$

Тогда наша сумма примет вид (такие суммы называют телескопическими):

$2S \sin \alpha = (\cos \alpha - \cos 3\alpha) + (\cos 3\alpha - \cos 5\alpha) + \dots + (\cos((2n-1)\alpha) - \cos((2n+1)\alpha))$

Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$2S \sin \alpha = \cos \alpha - \cos((2n+1)\alpha)$

Теперь применим формулу разности косинусов: $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$.

$2S \sin \alpha = -2\sin\frac{\alpha + (2n+1)\alpha}{2} \sin\frac{\alpha - (2n+1)\alpha}{2} = -2\sin\frac{(2n+2)\alpha}{2} \sin\frac{-2n\alpha}{2}$

$2S \sin \alpha = -2\sin((n+1)\alpha) (-\sin(n\alpha)) = 2\sin(n\alpha)\sin((n+1)\alpha)$

Так как мы предположили, что $\sin \alpha \neq 0$, мы можем разделить обе части на $2\sin \alpha$:

$S = \frac{\sin(n\alpha)\sin((n+1)\alpha)}{\sin \alpha}$

Заметим, что эта формула верна и для случая 1, если рассматривать предел при $\alpha \to k\pi$.

Ответ: $S = \frac{\sin(n\alpha)\sin((n+1)\alpha)}{\sin \alpha}$.

Для вычисления этой суммы воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

Применим эту формулу к каждому члену суммы:

$S = \sum_{k=1}^{n} \cos^2((2k-1)\alpha) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1 + \cos(2(2k-1)\alpha)}{2}$

Разделим сумму на две части:

$S = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \cos(2(2k-1)\alpha) = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} (\cos 2\alpha + \cos 6\alpha + \dots + \cos((4n-2)\alpha))$

Пусть $C = \cos 2\alpha + \cos 6\alpha + \dots + \cos((4n-2)\alpha)$. Это сумма косинусов углов, составляющих арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 2\alpha$ и разностью $d = 4\alpha$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\sin(2\alpha) = 0$, то есть $2\alpha = k\pi$ или $\alpha = \frac{k\pi}{2}$ для любого целого $k$.

• Если $k$ — четное число, то $\alpha = m\pi$ для целого $m$. Тогда $(2j-1)\alpha = (2j-1)m\pi$. В этом случае $\cos((2j-1)m\pi) = \pm 1$, а $\cos^2((2j-1)m\pi) = 1$. Сумма состоит из $n$ единиц: $S = n$.
• Если $k$ — нечетное число, то $\alpha = \frac{(2m+1)\pi}{2}$ для целого $m$. Тогда $(2j-1)\alpha$ является нечетным кратным $\frac{\pi}{2}$, поэтому $\cos((2j-1)\alpha) = 0$. Каждый член суммы равен нулю, и $S = 0$.

Случай 2: $\sin(2\alpha) \neq 0$.

Вычислим сумму $C$. Умножим ее на $2\sin(2\alpha)$:

$2C \sin(2\alpha) = \sum_{k=1}^{n} 2\sin(2\alpha)\cos((4k-2)\alpha)$

Используем формулу $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$:

$2\sin(2\alpha)\cos((4k-2)\alpha) = \sin(2\alpha + (4k-2)\alpha) + \sin(2\alpha - (4k-2)\alpha) = \sin(4k\alpha) + \sin((4-4k)\alpha) = \sin(4k\alpha) - \sin((4k-4)\alpha)$

Сумма для $C$ становится телескопической:

$2C \sin(2\alpha) = (\sin(4\alpha) - \sin 0) + (\sin(8\alpha) - \sin(4\alpha)) + \dots + (\sin(4n\alpha) - \sin(4(n-1)\alpha))$

После сокращения промежуточных членов получаем:

$2C \sin(2\alpha) = \sin(4n\alpha)$

Отсюда, так как $\sin(2\alpha) \neq 0$, находим $C$:

$C = \frac{\sin(4n\alpha)}{2\sin(2\alpha)}$

Теперь подставим найденное значение $C$ обратно в выражение для $S$:

$S = \frac{n}{2} + \frac{1}{2}C = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(4n\alpha)}{2\sin(2\alpha)} = \frac{n}{2} + \frac{\sin(4n\alpha)}{4\sin(2\alpha)}$

Ответ: $S = \begin{cases} \frac{n}{2} + \frac{\sin(4n\alpha)}{4\sin(2\alpha)}, & \text{если } \alpha \neq \frac{k\pi}{2} \\ n, & \text{если } \alpha = k\pi \\ 0, & \text{если } \alpha = \frac{(2k+1)\pi}{2} \end{cases}$ для $k \in \mathbb{Z}$.