Номер 27.20, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.20. Докажите равенство $\cos \frac{\pi}{19} + \cos \frac{3\pi}{19} + \ldots + \cos \frac{17\pi}{19} = \frac{1}{2}$.

Для доказательства данного равенства воспользуемся методом суммирования тригонометрических рядов. Обозначим искомую сумму буквой $S$:

$S = \cos\frac{\pi}{19} + \cos\frac{3\pi}{19} + \ldots + \cos\frac{17\pi}{19}$

Заметим, что аргументы косинусов представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом $\alpha = \frac{\pi}{19}$ и разностью $d = \frac{2\pi}{19}$.

Умножим левую и правую части равенства на $2\sin\frac{d}{2} = 2\sin\frac{\pi}{19}$. Поскольку $\frac{\pi}{19}$ не кратно $\pi$, то $\sin\frac{\pi}{19} \neq 0$, и такое умножение является корректным.

$2S \cdot \sin\frac{\pi}{19} = 2\cos\frac{\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} + 2\cos\frac{3\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} + \ldots + 2\cos\frac{17\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}$

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой произведения косинуса на синус: $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$. Применим её к каждому слагаемому в правой части:

• $2\cos\frac{\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin\left(\frac{\pi}{19}+\frac{\pi}{19}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{19}-\frac{\pi}{19}\right) = \sin\frac{2\pi}{19} - \sin 0$
• $2\cos\frac{3\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin\left(\frac{3\pi}{19}+\frac{\pi}{19}\right) - \sin\left(\frac{3\pi}{19}-\frac{\pi}{19}\right) = \sin\frac{4\pi}{19} - \sin\frac{2\pi}{19}$
• $2\cos\frac{5\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin\left(\frac{5\pi}{19}+\frac{\pi}{19}\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{19}-\frac{\pi}{19}\right) = \sin\frac{6\pi}{19} - \sin\frac{4\pi}{19}$
• ...
• $2\cos\frac{17\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19} = \sin\left(\frac{17\pi}{19}+\frac{\pi}{19}\right) - \sin\left(\frac{17\pi}{19}-\frac{\pi}{19}\right) = \sin\frac{18\pi}{19} - \sin\frac{16\pi}{19}$

Подставим полученные выражения обратно в сумму. Мы получим так называемую "телескопическую сумму", в которой большинство слагаемых взаимно уничтожаются.

$2S \sin\frac{\pi}{19} = (\sin\frac{2\pi}{19} - \sin 0) + (\sin\frac{4\pi}{19} - \sin\frac{2\pi}{19}) + (\sin\frac{6\pi}{19} - \sin\frac{4\pi}{19}) + \ldots + (\sin\frac{18\pi}{19} - \sin\frac{16\pi}{19})$

После сокращения пар слагаемых с противоположными знаками (например, $\sin\frac{2\pi}{19}$ и $-\sin\frac{2\pi}{19}$, $\sin\frac{4\pi}{19}$ и $-\sin\frac{4\pi}{19}$ и т.д.) в выражении останутся только первый и последний члены:

$2S \sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{18\pi}{19} - \sin 0$

Поскольку $\sin 0 = 0$, имеем:

$2S \sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{18\pi}{19}$

Теперь воспользуемся формулой приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ для упрощения $\sin\frac{18\pi}{19}$:

$\sin\frac{18\pi}{19} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{19}\right) = \sin\frac{\pi}{19}$

Подставим это значение в наше уравнение:

$2S \sin\frac{\pi}{19} = \sin\frac{\pi}{19}$

Разделим обе части на $\sin\frac{\pi}{19}$ (мы уже установили, что это значение не равно нулю):

$2S = 1$

$S = \frac{1}{2}$

Таким образом, мы доказали, что $\cos\frac{\pi}{19} + \cos\frac{3\pi}{19} + \ldots + \cos\frac{17\pi}{19} = \frac{1}{2}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.