Номер 27.15, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.15. Докажите равенство $ \text{tg } 30^\circ + \text{tg } 40^\circ + \text{tg } 50^\circ + \text{tg } 60^\circ = \frac{8 \cos 20^\circ}{\sqrt{3}} $

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$ \tg 30^\circ + \tg 40^\circ + \tg 50^\circ + \tg 60^\circ = (\tg 30^\circ + \tg 60^\circ) + (\tg 40^\circ + \tg 50^\circ) $

Теперь вычислим значение каждой группы отдельно.

1. Найдем сумму первой группы, используя известные значения тангенсов:

$ \tg 30^\circ + \tg 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1 + (\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \frac{1+3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} $

2. Преобразуем сумму второй группы. Воспользуемся формулой приведения $ \tg(90^\circ - \alpha) = \ctg \alpha $. В нашем случае $ \tg 50^\circ = \tg(90^\circ - 40^\circ) = \ctg 40^\circ $.

Тогда:

$ \tg 40^\circ + \tg 50^\circ = \tg 40^\circ + \ctg 40^\circ $

Представим тангенс и котангенс через синус и косинус:

$ \frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ} + \frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ} $

В числителе используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $. В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $, из которой следует, что $ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha $.

$ \frac{1}{\sin 40^\circ \cos 40^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 40^\circ)} = \frac{2}{\sin 80^\circ} $

3. Теперь сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$ (\tg 30^\circ + \tg 60^\circ) + (\tg 40^\circ + \tg 50^\circ) = \frac{4}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sin 80^\circ} $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{4\sin 80^\circ + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sin 80^\circ} $

Вспомним, что $ \sqrt{3} = 2\sin 60^\circ $. Подставим это в числитель:

$ \frac{4\sin 80^\circ + 2(2\sin 60^\circ)}{\sqrt{3}\sin 80^\circ} = \frac{4(\sin 80^\circ + \sin 60^\circ)}{\sqrt{3}\sin 80^\circ} $

Для суммы синусов в числителе применим формулу $ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \sin 80^\circ + \sin 60^\circ = 2\sin\frac{80^\circ+60^\circ}{2}\cos\frac{80^\circ-60^\circ}{2} = 2\sin 70^\circ \cos 10^\circ $

Подставим это обратно в выражение:

$ \frac{4(2\sin 70^\circ \cos 10^\circ)}{\sqrt{3}\sin 80^\circ} = \frac{8\sin 70^\circ \cos 10^\circ}{\sqrt{3}\sin 80^\circ} $

Теперь снова воспользуемся формулами приведения:
$ \sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ $
$ \cos 10^\circ = \cos(90^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ $

Подставим эти значения в нашу дробь:

$ \frac{8\cos 20^\circ \sin 80^\circ}{\sqrt{3}\sin 80^\circ} $

Сокращаем $ \sin 80^\circ $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{8\cos 20^\circ}{\sqrt{3}} $

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили правую часть. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \tg 30^\circ + \tg 40^\circ + \tg 50^\circ + \tg 60^\circ = \frac{8\cos 20^\circ}{\sqrt{3}} $ доказано.