Номер 27.9, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.9. Докажите тождество:

1) $ctg 6\alpha - ctg 4\alpha + tg 2\alpha = -ctg 6\alpha ctg 4\alpha tg 2\alpha;$

2) $\frac{1}{tg 3\alpha + tg \alpha} - \frac{1}{ctg 3\alpha + ctg \alpha} = ctg 4\alpha;$

3) $tg \alpha + ctg \alpha + tg 3\alpha + ctg 3\alpha = \frac{8 \cos^2 2\alpha}{\sin 6\alpha}.$

Докажем тождество $ \text{ctg}\,6\alpha - \text{ctg}\,4\alpha + \text{tg}\,2\alpha = -\text{ctg}\,6\alpha\,\text{ctg}\,4\alpha\,\text{tg}\,2\alpha $.

Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем первые два слагаемых и представим котангенсы как отношение косинуса к синусу:

$ (\text{ctg}\,6\alpha - \text{ctg}\,4\alpha) + \text{tg}\,2\alpha = \left(\frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha} - \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha}\right) + \text{tg}\,2\alpha $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ \frac{\cos 6\alpha \sin 4\alpha - \sin 6\alpha \cos 4\alpha}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha} + \text{tg}\,2\alpha $

В числителе используем формулу синуса разности $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $:

$ \frac{\sin(4\alpha - 6\alpha)}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha} + \text{tg}\,2\alpha = \frac{-\sin 2\alpha}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha} + \text{tg}\,2\alpha $

Теперь представим тангенс как отношение синуса к косинусу и вынесем $ \sin 2\alpha $ за скобки:

$ -\frac{\sin 2\alpha}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha} + \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \sin 2\alpha \left(\frac{1}{\cos 2\alpha} - \frac{1}{\sin 6\alpha \sin 4\alpha}\right) $

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ \sin 2\alpha \left(\frac{\sin 6\alpha \sin 4\alpha - \cos 2\alpha}{\cos 2\alpha \sin 6\alpha \sin 4\alpha}\right) $

Воспользуемся формулой косинуса разности $ \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
Для $ A=6\alpha $ и $ B=4\alpha $ имеем $ \cos(2\alpha) = \cos(6\alpha-4\alpha) = \cos 6\alpha \cos 4\alpha + \sin 6\alpha \sin 4\alpha $.
Отсюда $ \sin 6\alpha \sin 4\alpha - \cos 2\alpha = \sin 6\alpha \sin 4\alpha - (\cos 6\alpha \cos 4\alpha + \sin 6\alpha \sin 4\alpha) = -\cos 6\alpha \cos 4\alpha $.

Подставим полученное выражение в числитель дроби в скобках:

$ \sin 2\alpha \left(\frac{-\cos 6\alpha \cos 4\alpha}{\cos 2\alpha \sin 6\alpha \sin 4\alpha}\right) = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} \cdot \left(-\frac{\cos 6\alpha}{\sin 6\alpha} \cdot \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha}\right) $

Заменяя отношения синусов и косинусов на тангенс и котангенсы, получаем:

$ \text{tg}\,2\alpha \cdot (-\text{ctg}\,6\alpha \cdot \text{ctg}\,4\alpha) = -\text{ctg}\,6\alpha\,\text{ctg}\,4\alpha\,\text{tg}\,2\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество $ \frac{1}{\text{tg}\,3\alpha + \text{tg}\,\alpha} - \frac{1}{\text{ctg}\,3\alpha + \text{ctg}\,\alpha} = \text{ctg}\,4\alpha $.

Преобразуем каждое слагаемое в левой части по отдельности. Для первого слагаемого преобразуем знаменатель:

$ \text{tg}\,3\alpha + \text{tg}\,\alpha = \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin 3\alpha \cos \alpha + \cos 3\alpha \sin \alpha}{\cos 3\alpha \cos \alpha} $

Используя формулу синуса суммы $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $, получаем:

$ \frac{\sin(3\alpha+\alpha)}{\cos 3\alpha \cos \alpha} = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 3\alpha \cos \alpha} $

Тогда первое слагаемое равно:

$ \frac{1}{\text{tg}\,3\alpha + \text{tg}\,\alpha} = \frac{\cos 3\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha} $

Аналогично преобразуем знаменатель второго слагаемого:

$ \text{ctg}\,3\alpha + \text{ctg}\,\alpha = \frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos 3\alpha \sin \alpha + \sin 3\alpha \cos \alpha}{\sin 3\alpha \sin \alpha} = \frac{\sin(3\alpha+\alpha)}{\sin 3\alpha \sin \alpha} = \frac{\sin 4\alpha}{\sin 3\alpha \sin \alpha} $

Тогда второе слагаемое равно:

$ \frac{1}{\text{ctg}\,3\alpha + \text{ctg}\,\alpha} = \frac{\sin 3\alpha \sin \alpha}{\sin 4\alpha} $

Теперь вычтем второе слагаемое из первого:

$ \frac{\cos 3\alpha \cos \alpha}{\sin 4\alpha} - \frac{\sin 3\alpha \sin \alpha}{\sin 4\alpha} = \frac{\cos 3\alpha \cos \alpha - \sin 3\alpha \sin \alpha}{\sin 4\alpha} $

Числитель является формулой косинуса суммы $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $:

$ \frac{\cos(3\alpha+\alpha)}{\sin 4\alpha} = \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} = \text{ctg}\,4\alpha $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Докажем тождество $ \text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha + \text{tg}\,3\alpha + \text{ctg}\,3\alpha = \frac{8\cos^2 2\alpha}{\sin 6\alpha} $.

Сгруппируем слагаемые в левой части:

$ (\text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha) + (\text{tg}\,3\alpha + \text{ctg}\,3\alpha) $

Воспользуемся известным тождеством $ \text{tg}\,x + \text{ctg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin 2x} = \frac{2}{\sin 2x} $.

Применим это тождество к каждой группе слагаемых:

$ \text{tg}\,\alpha + \text{ctg}\,\alpha = \frac{2}{\sin 2\alpha} $

$ \text{tg}\,3\alpha + \text{ctg}\,3\alpha = \frac{2}{\sin(2 \cdot 3\alpha)} = \frac{2}{\sin 6\alpha} $

Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:

$ \frac{2}{\sin 2\alpha} + \frac{2}{\sin 6\alpha} = 2\left(\frac{1}{\sin 2\alpha} + \frac{1}{\sin 6\alpha}\right) $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$ 2\left(\frac{\sin 6\alpha + \sin 2\alpha}{\sin 2\alpha \sin 6\alpha}\right) $

Для преобразования числителя используем формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $:

$ \sin 6\alpha + \sin 2\alpha = 2\sin\frac{6\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha-2\alpha}{2} = 2\sin 4\alpha \cos 2\alpha $

Подставим это в наше выражение:

$ 2\left(\frac{2\sin 4\alpha \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha \sin 6\alpha}\right) = \frac{4\sin 4\alpha \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha \sin 6\alpha} $

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha $:

$ \frac{4(2\sin 2\alpha \cos 2\alpha)\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha \sin 6\alpha} $

Сократим $ \sin 2\alpha $ в числителе и знаменателе (при условии $ \sin 2\alpha \ne 0 $):

$ \frac{8\cos 2\alpha \cos 2\alpha}{\sin 6\alpha} = \frac{8\cos^2 2\alpha}{\sin 6\alpha} $

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.