Номер 27.12, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.12. Докажите тождество:

1) $1 - 2\cos\alpha + \cos2\alpha = -4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}$;

2) $1 - \sin\alpha - \cos\alpha = 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)$.

1) $1 - 2\cos\alpha + \cos2\alpha = -4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые и применим формулу двойного угла для косинуса $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

$1 - 2\cos\alpha + \cos2\alpha = (1 + \cos2\alpha) - 2\cos\alpha$

Подставляем формулу двойного угла:

$(1 + 2\cos^2\alpha - 1) - 2\cos\alpha = 2\cos^2\alpha - 2\cos\alpha$

Вынесем общий множитель $2\cos\alpha$ за скобки:

$2\cos\alpha(\cos\alpha - 1)$

Теперь воспользуемся формулой половинного угла для синуса: $\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$, из которой следует, что $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$.

Тогда выражение в скобках можно записать как $\cos\alpha - 1 = -(1 - \cos\alpha) = -2\sin^2\frac{\alpha}{2}$.

Подставим это в наше выражение:

$2\cos\alpha \cdot (-2\sin^2\frac{\alpha}{2}) = -4\cos\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) $1 - \sin\alpha - \cos\alpha = 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)$

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Используем основное тригонометрическое тождество и формулы двойного угла, выраженные через аргумент $\frac{\alpha}{2}$:

$1 = \sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}$

$\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

$\cos\alpha = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}$

Подставим эти выражения в левую часть тождества:

$1 - \sin\alpha - \cos\alpha = \left(\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}\right) - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} - \left(\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}\right)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} - \cos^2\frac{\alpha}{2} + \sin^2\frac{\alpha}{2} = 2\sin^2\frac{\alpha}{2} - 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

Вынесем общий множитель $2\sin\frac{\alpha}{2}$ за скобки:

$2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2}\right)$

Преобразуем выражение в скобках, используя метод введения вспомогательного угла. Умножим и разделим его на $\sqrt{2}$:

$\sin\frac{\alpha}{2} - \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{\alpha}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{\alpha}{2}\right)$

Поскольку $\cos45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$, заменим дроби на тригонометрические функции:

$\sqrt{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}\cos45^\circ - \cos\frac{\alpha}{2}\sin45^\circ\right)$

Применим формулу синуса разности $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$:

$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)$

Подставим полученный результат в наше преобразованное выражение:

$2\sin\frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right) = 2\sqrt{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\left(\frac{\alpha}{2} - 45^\circ\right)$

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.