Номер 27.18, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.18. Докажите, что если $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, то имеет место тождество:

1) $\sin 4\alpha + \sin 4\beta + \sin 4\gamma = -4\sin 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma$;

2) $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \gamma}{2} \cos \frac{\beta + \gamma}{2}$;

3) $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.

1) Докажем тождество $\sin 4\alpha + \sin 4\beta + \sin 4\gamma = -4\sin 2\alpha \sin 2\beta \sin 2\gamma$, используя условие $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Преобразуем левую часть (ЛЧ), применив к первым двум слагаемым формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
ЛЧ = $(\sin 4\alpha + \sin 4\beta) + \sin 4\gamma = 2\sin\frac{4\alpha+4\beta}{2}\cos\frac{4\alpha-4\beta}{2} + \sin 4\gamma = 2\sin(2\alpha+2\beta)\cos(2\alpha-2\beta) + \sin 4\gamma$.
Из условия $\alpha+\beta+\gamma = \pi$ следует, что $2\alpha+2\beta+2\gamma = 2\pi$, откуда $2\alpha+2\beta = 2\pi - 2\gamma$.
Используя это, находим $\sin(2\alpha+2\beta) = \sin(2\pi-2\gamma) = -\sin(2\gamma)$.
Подставим полученное выражение в левую часть:
ЛЧ = $2(-\sin 2\gamma)\cos(2\alpha-2\beta) + \sin 4\gamma$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 4\gamma = 2\sin 2\gamma \cos 2\gamma$:
ЛЧ = $-2\sin 2\gamma\cos(2\alpha-2\beta) + 2\sin 2\gamma\cos 2\gamma$.
Вынесем за скобки общий множитель $2\sin 2\gamma$:
ЛЧ = $2\sin 2\gamma(\cos 2\gamma - \cos(2\alpha-2\beta))$.
Из соотношения $2\gamma = 2\pi - (2\alpha+2\beta)$ следует, что $\cos 2\gamma = \cos(2\pi - (2\alpha+2\beta)) = \cos(2\alpha+2\beta)$.
Тогда выражение в скобках становится $\cos(2\alpha+2\beta) - \cos(2\alpha-2\beta)$.
Применим формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:
$\cos(2\alpha+2\beta) - \cos(2\alpha-2\beta) = -2\sin\frac{2\alpha+2\beta+2\alpha-2\beta}{2}\sin\frac{2\alpha+2\beta-(2\alpha-2\beta)}{2} = -2\sin(2\alpha)\sin(2\beta)$.
Подставляя это обратно, получаем:
ЛЧ = $2\sin 2\gamma(-2\sin 2\alpha\sin 2\beta) = -4\sin 2\alpha\sin 2\beta\sin 2\gamma$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \gamma}{2}\cos\frac{\beta + \gamma}{2}$, используя условие $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Преобразуем левую часть (ЛЧ), используя формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:
ЛЧ = $(\cos \alpha + \cos \beta) + \cos \gamma = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + \cos \gamma$.
Из условия $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, тогда $\cos\gamma = \cos(\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos(\alpha+\beta)$.
Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, получаем $\cos(\alpha+\beta) = 2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} - 1$.
Следовательно, $\cos\gamma = -(2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2} - 1) = 1 - 2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Подставим это в выражение для ЛЧ:
ЛЧ = $2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} + 1 - 2\cos^2\frac{\alpha+\beta}{2}$.
Вынесем за скобки $2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$:
ЛЧ = $1 + 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$.
Применим к выражению в скобках формулу разности косинусов:
$\cos\frac{\alpha-\beta}{2} - \cos\frac{\alpha+\beta}{2} = -2\sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}+\frac{\alpha+\beta}{2}}{2}\sin\frac{\frac{\alpha-\beta}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}}{2} = -2\sin(\frac{\alpha}{2})\sin(-\frac{\beta}{2}) = 2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}$.
Таким образом, ЛЧ = $1 + 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\left(2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\right) = 1 + 4\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}$.
Теперь преобразуем правую часть (ПЧ), используя условие $\alpha + \beta + \gamma = \pi$:
$\frac{\alpha+\gamma}{2} = \frac{\pi-\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\beta}{2} \Rightarrow \cos\frac{\alpha+\gamma}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\beta}{2}) = \sin\frac{\beta}{2}$.
$\frac{\beta+\gamma}{2} = \frac{\pi-\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \cos\frac{\beta+\gamma}{2} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = \sin\frac{\alpha}{2}$.
Подставим это в правую часть:
ПЧ = $1 + 4\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\left(\sin\frac{\beta}{2}\right)\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right) = 1 + 4\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}$.
Так как ЛЧ = ПЧ, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

3) Докажем тождество $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$, используя условие $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Преобразуем левую часть (ЛЧ). Из условия $\gamma = \pi - (\alpha+\beta)$, следует $\cos\gamma = \cos(\pi - (\alpha+\beta)) = -\cos(\alpha+\beta)$.
Тогда $\cos^2\gamma = (-\cos(\alpha+\beta))^2 = \cos^2(\alpha+\beta)$.
ЛЧ = $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2(\alpha+\beta)$.
Используем тождество $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$:
ЛЧ = $\cos^2 \alpha + 1 - \sin^2 \beta + \cos^2(\alpha+\beta) = 1 + (\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta) + \cos^2(\alpha+\beta)$.
Применим формулу разности квадратов косинуса и синуса $\cos^2 x - \sin^2 y = \cos(x+y)\cos(x-y)$:
ЛЧ = $1 + \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + \cos^2(\alpha+\beta)$.
Вынесем за скобки $\cos(\alpha+\beta)$:
ЛЧ = $1 + \cos(\alpha+\beta)\left(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\right)$.
Применим к выражению в скобках формулу суммы косинусов:
$\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta) = 2\cos\frac{\alpha-\beta+\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta-(\alpha+\beta)}{2} = 2\cos\alpha\cos(-\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta$.
Подставим результат в выражение для ЛЧ:
ЛЧ = $1 + \cos(\alpha+\beta)(2\cos\alpha\cos\beta)$.
Вспомним, что $\cos(\alpha+\beta) = -\cos\gamma$:
ЛЧ = $1 + (-\cos\gamma)(2\cos\alpha\cos\beta) = 1 - 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma$.
Левая часть равна правой, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.