Номер 27.23, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.23. Вычислите сумму $S = \frac{1}{2}\text{tg}\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\text{tg}\frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}}\text{tg}\frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^n}\text{tg}\frac{1}{2^n}$.

27.23. Для вычисления данной суммы воспользуемся тригонометрическим тождеством $\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{ctg} \alpha - 2\operatorname{ctg}(2\alpha)$. Докажем это тождество, преобразовав его правую часть с использованием формул двойного угла:

$\operatorname{ctg} \alpha - 2\operatorname{ctg}(2\alpha) = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - 2\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - 2\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{2\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$.

Тождество доказано.

Искомая сумма $S$ представляет собой сумму $n$ членов, $S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}\operatorname{tg}\frac{1}{2^k}$. Общий член ряда равен $a_k = \frac{1}{2^k}\operatorname{tg}\frac{1}{2^k}$.

Применим доказанное тождество к $a_k$, положив $\alpha = \frac{1}{2^k}$. Тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^{k-1}}$. Получаем:

$\operatorname{tg}\frac{1}{2^k} = \operatorname{ctg}\frac{1}{2^k} - 2\operatorname{ctg}\frac{1}{2^{k-1}}$.

Умножим обе части равенства на $\frac{1}{2^k}$, чтобы получить выражение для $a_k$:

$a_k = \frac{1}{2^k}\operatorname{tg}\frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^k}\left(\operatorname{ctg}\frac{1}{2^k} - 2\operatorname{ctg}\frac{1}{2^{k-1}}\right) = \frac{1}{2^k}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^k} - \frac{2}{2^k}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^{k-1}} = \frac{1}{2^k}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^k} - \frac{1}{2^{k-1}}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^{k-1}}$.

Это выражение имеет вид $F(k) - F(k-1)$, где $F(k) = \frac{1}{2^k}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^k}$. Следовательно, сумма является телескопической:

$S = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (F(k) - F(k-1))$.

Распишем сумму:

$S = (F(1) - F(0)) + (F(2) - F(1)) + (F(3) - F(2)) + \dots + (F(n) - F(n-1))$.

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются, и сумма сворачивается к разности последнего и первого членов:

$S = F(n) - F(0)$.

Теперь вычислим значения $F(n)$ и $F(0)$:

$F(n) = \frac{1}{2^n}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^n}$.

$F(0) = \frac{1}{2^0}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^0} = 1 \cdot \operatorname{ctg}(1) = \operatorname{ctg}(1)$.

Подставляя эти значения, находим окончательное выражение для суммы:

$S = \frac{1}{2^n}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^n} - \operatorname{ctg}(1)$.

Ответ: $S = \frac{1}{2^n}\operatorname{ctg}\frac{1}{2^n} - \operatorname{ctg}(1)$.