Номер 27.24, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.24. Докажите равенство

$\cos\frac{2\pi}{n} + \cos\frac{4\pi}{n} + \dots + \cos\frac{2(n-1)\pi}{n} + \cos\frac{2n\pi}{n} = 0$

Обозначим левую часть доказываемого равенства через $S$:

$S = \cos\frac{2\pi}{n} + \cos\frac{4\pi}{n} + \dots + \cos\frac{2(n-1)\pi}{n} + \cos\frac{2n\pi}{n}$

Эту сумму можно записать в компактной форме с помощью знака суммирования:

$S = \sum_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$

Для доказательства воспользуемся комплексными числами. Согласно формуле Эйлера, $e^{i\phi} = \cos\phi + i\sin\phi$. Отсюда следует, что косинус является действительной частью (real part) комплексной экспоненты: $\cos\phi = \text{Re}(e^{i\phi})$.

Применив это к каждому слагаемому, мы можем представить сумму $S$ как действительную часть суммы комплексных чисел:

$S = \sum_{k=1}^{n} \text{Re}\left(e^{i \frac{2k\pi}{n}}\right) = \text{Re}\left(\sum_{k=1}^{n} e^{i \frac{2k\pi}{n}}\right)$

Рассмотрим сумму комплексных чисел $Z = \sum_{k=1}^{n} e^{i \frac{2k\pi}{n}}$. Эта сумма представляет собой сумму $n$ членов геометрической прогрессии. Если мы обозначим $q = e^{i \frac{2\pi}{n}}$, то члены прогрессии будут $q^1, q^2, \dots, q^n$.

Первый член этой прогрессии $a_1 = q$, знаменатель также равен $q$, а количество членов равно $n$. Сумма $n$ членов геометрической прогрессии находится по формуле $S_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$.

Эта формула применима при условии, что знаменатель $q \ne 1$. В нашем случае $q = e^{i \frac{2\pi}{n}}$. Равенство $q=1$ выполняется только тогда, когда $\frac{2\pi}{n}$ является целым кратным $2\pi$, что возможно только при $n=1$. Однако из вида суммы следует, что $n \ge 2$ (иначе сумма состояла бы из одного члена $\cos(2\pi)=1$, и доказываемое равенство было бы неверным). При $n \ge 2$ знаменатель $q \ne 1$, и мы можем использовать формулу.

Найдем значение $q^n$:

$q^n = \left(e^{i \frac{2\pi}{n}}\right)^n = e^{i \frac{2\pi n}{n}} = e^{i 2\pi} = \cos(2\pi) + i \sin(2\pi) = 1$.

Теперь мы можем вычислить сумму $Z$:

$Z = q \frac{q^n - 1}{q - 1} = e^{i \frac{2\pi}{n}} \frac{1 - 1}{e^{i \frac{2\pi}{n}} - 1} = e^{i \frac{2\pi}{n}} \frac{0}{e^{i \frac{2\pi}{n}} - 1} = 0$.

Поскольку сумма комплексных чисел $Z$ равна нулю, ее действительная часть, которая и является искомой суммой $S$, также равна нулю:

$S = \text{Re}(Z) = \text{Re}(0) = 0$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.