Номер 27.17, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.17. Докажите, что если $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$, то имеет место тождество:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 2 + 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя тригонометрические формулы и заданное условие $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$.

Начнем с левой части равенства:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma$

Применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ для первых двух слагаемых:

$\frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} + \frac{1 + \cos(2\beta)}{2} + \cos^2\gamma = 1 + \frac{\cos(2\alpha) + \cos(2\beta)}{2} + \cos^2\gamma$

Теперь используем формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$1 + \frac{2\cos(\frac{2\alpha+2\beta}{2})\cos(\frac{2\alpha-2\beta}{2})}{2} + \cos^2\gamma = 1 + \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) + \cos^2\gamma$

Из условия задачи $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$ следует, что $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} - \gamma$.

Используя формулу приведения, находим $\cos(\alpha+\beta) = \cos(\frac{\pi}{2} - \gamma) = \sin\gamma$.

Подставим полученное выражение в наше равенство:

$1 + \sin\gamma \cdot \cos(\alpha-\beta) + \cos^2\gamma$

Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2\gamma = 1 - \sin^2\gamma$:

$1 + \sin\gamma \cos(\alpha-\beta) + (1 - \sin^2\gamma) = 2 + \sin\gamma \cos(\alpha-\beta) - \sin^2\gamma$

Вынесем $\sin\gamma$ за скобки:

$2 + \sin\gamma (\cos(\alpha-\beta) - \sin\gamma)$

Из условия $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$ также следует, что $\gamma = \frac{\pi}{2} - (\alpha+\beta)$, и, следовательно, $\sin\gamma = \sin(\frac{\pi}{2} - (\alpha+\beta)) = \cos(\alpha+\beta)$.

Подставим это в выражение в скобках:

$2 + \sin\gamma (\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$

Теперь воспользуемся формулой разности косинусов $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

$\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta) = -2\sin\frac{(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)}{2}\sin\frac{(\alpha-\beta)-(\alpha+\beta)}{2} = -2\sin\alpha\sin(-\beta) = 2\sin\alpha\sin\beta$

Подставив это обратно, получаем:

$2 + \sin\gamma (2\sin\alpha\sin\beta) = 2 + 2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна его правой части. Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.