Номер 27.13, страница 199 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.13. Упростите выражение:

1) $\sin^2\alpha + \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$;

2) $\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$;

3) $\cos^2(45^\circ + \alpha) - \cos^2(30^\circ - \alpha) + \sin 15^\circ \sin(75^\circ - 2\alpha)$.

1) Упростим выражение $\sin^2\alpha + \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)$.

Воспользуемся формулами косинуса суммы и разности:
$\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$
$\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha = \frac{1}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha$

Перемножим эти два выражения, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) = \left(\frac{1}{2}\cos\alpha\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right)^2 = \frac{1}{4}\cos^2\alpha - \frac{3}{4}\sin^2\alpha$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$\sin^2\alpha + \frac{1}{4}\cos^2\alpha - \frac{3}{4}\sin^2\alpha$

Сгруппируем подобные слагаемые:
$\left(1 - \frac{3}{4}\right)\sin^2\alpha + \frac{1}{4}\cos^2\alpha = \frac{1}{4}\sin^2\alpha + \frac{1}{4}\cos^2\alpha$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{4}$ за скобки и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\frac{1}{4}(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

2) Упростим выражение $\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta)$.

Воспользуемся формулой произведения косинусов $\cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2x - \sin^2y$.
Применив ее к последнему члену выражения, получаем:
$\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta$

Подставим это в исходное выражение:
$\cos^2\alpha + \cos^2\beta - (\cos^2\alpha - \sin^2\beta)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos^2\alpha + \sin^2\beta = (\cos^2\alpha - \cos^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$, получаем:
$0 + 1 = 1$

Ответ: $1$

3) Упростим выражение $\cos^2(45^\circ + \alpha) - \cos^2(30^\circ - \alpha) + \sin15^\circ\sin(75^\circ - 2\alpha)$.

Рассмотрим первую часть выражения: $\cos^2(45^\circ + \alpha) - \cos^2(30^\circ - \alpha)$.
Воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:
$\cos^2(45^\circ + \alpha) = \frac{1 + \cos(2(45^\circ + \alpha))}{2} = \frac{1 + \cos(90^\circ + 2\alpha)}{2}$
$\cos^2(30^\circ - \alpha) = \frac{1 + \cos(2(30^\circ - \alpha))}{2} = \frac{1 + \cos(60^\circ - 2\alpha)}{2}$

Тогда разность квадратов косинусов равна:
$\frac{1 + \cos(90^\circ + 2\alpha)}{2} - \frac{1 + \cos(60^\circ - 2\alpha)}{2} = \frac{1}{2}(\cos(90^\circ + 2\alpha) - \cos(60^\circ - 2\alpha))$
Используя формулу приведения $\cos(90^\circ + x) = -\sin x$, получаем:
$\frac{1}{2}(-\sin(2\alpha) - \cos(60^\circ - 2\alpha))$

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $\sin15^\circ\sin(75^\circ - 2\alpha)$.
Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму $\sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B))$:
$\sin(75^\circ - 2\alpha)\sin15^\circ = \frac{1}{2}(\cos((75^\circ - 2\alpha) - 15^\circ) - \cos((75^\circ - 2\alpha) + 15^\circ))$
$= \frac{1}{2}(\cos(60^\circ - 2\alpha) - \cos(90^\circ - 2\alpha))$
Используя формулу приведения $\cos(90^\circ - x) = \sin x$, получаем:
$\frac{1}{2}(\cos(60^\circ - 2\alpha) - \sin(2\alpha))$

Сложим обе упрощенные части:
$\frac{1}{2}(-\sin(2\alpha) - \cos(60^\circ - 2\alpha)) + \frac{1}{2}(\cos(60^\circ - 2\alpha) - \sin(2\alpha))$
$= \frac{1}{2}(-\sin(2\alpha) - \cos(60^\circ - 2\alpha) + \cos(60^\circ - 2\alpha) - \sin(2\alpha))$
$= \frac{1}{2}(-2\sin(2\alpha)) = -\sin(2\alpha)$

Ответ: $-\sin(2\alpha)$