Номер 27.19, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.19. Докажите равенство:

1) $ \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2} $;

2) $ \sin10^{\circ} + \sin20^{\circ} + \dots + \sin50^{\circ} = \frac{\sin25^{\circ}}{2\sin5^{\circ}} $.

1) Докажем равенство $\cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac{1}{2}$.
Обозначим левую часть равенства как $S$: $S = \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7}$.
Умножим обе части этого выражения на $2\sin\frac{\pi}{7}$. Так как $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$, это является равносильным преобразованием. $2S\sin\frac{\pi}{7} = 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7} + 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} + 2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7}$.
Воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$.
Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части:
$2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{7}+\frac{2\pi}{7}) + \sin(\frac{\pi}{7}-\frac{2\pi}{7}) = \sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7}$.
$2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{7}+\frac{4\pi}{7}) + \sin(\frac{\pi}{7}-\frac{4\pi}{7}) = \sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7}$.
$2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7} = \sin(\frac{\pi}{7}+\frac{6\pi}{7}) + \sin(\frac{\pi}{7}-\frac{6\pi}{7}) = \sin\frac{7\pi}{7} - \sin\frac{5\pi}{7} = \sin\pi - \sin\frac{5\pi}{7}$.
Теперь сложим полученные выражения: $2S\sin\frac{\pi}{7} = (\sin\frac{3\pi}{7} - \sin\frac{\pi}{7}) + (\sin\frac{5\pi}{7} - \sin\frac{3\pi}{7}) + (\sin\pi - \sin\frac{5\pi}{7})$.
Слагаемые $\sin\frac{3\pi}{7}$ и $\sin\frac{5\pi}{7}$ взаимно уничтожаются (получается телескопическая сумма): $2S\sin\frac{\pi}{7} = \sin\pi - \sin\frac{\pi}{7}$.
Так как $\sin\pi = 0$, получаем: $2S\sin\frac{\pi}{7} = -\sin\frac{\pi}{7}$.
Разделим обе части на $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$: $2S = -1$, откуда $S = -\frac{1}{2}$.
Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна $-\frac{1}{2}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем равенство $\sin10^\circ + \sin20^\circ + \dots + \sin50^\circ = \frac{\sin25^\circ}{2\sin5^\circ}$.
Запишем сумму полностью и обозначим ее как $S$: $S = \sin10^\circ + \sin20^\circ + \sin30^\circ + \sin40^\circ + \sin50^\circ$.
Умножим обе части этого выражения на $2\sin5^\circ$. Так как $\sin5^\circ \neq 0$, это является равносильным преобразованием. $2S\sin5^\circ = 2\sin5^\circ\sin10^\circ + 2\sin5^\circ\sin20^\circ + 2\sin5^\circ\sin30^\circ + 2\sin5^\circ\sin40^\circ + 2\sin5^\circ\sin50^\circ$.
Воспользуемся формулой произведения синусов: $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$.
Применим эту формулу к каждому слагаемому в правой части:
$2\sin5^\circ\sin10^\circ = \cos(10^\circ-5^\circ) - \cos(10^\circ+5^\circ) = \cos5^\circ - \cos15^\circ$.
$2\sin5^\circ\sin20^\circ = \cos(20^\circ-5^\circ) - \cos(20^\circ+5^\circ) = \cos15^\circ - \cos25^\circ$.
$2\sin5^\circ\sin30^\circ = \cos(30^\circ-5^\circ) - \cos(30^\circ+5^\circ) = \cos25^\circ - \cos35^\circ$.
$2\sin5^\circ\sin40^\circ = \cos(40^\circ-5^\circ) - \cos(40^\circ+5^\circ) = \cos35^\circ - \cos45^\circ$.
$2\sin5^\circ\sin50^\circ = \cos(50^\circ-5^\circ) - \cos(50^\circ+5^\circ) = \cos45^\circ - \cos55^\circ$.
Теперь сложим полученные выражения: $2S\sin5^\circ = (\cos5^\circ - \cos15^\circ) + (\cos15^\circ - \cos25^\circ) + (\cos25^\circ - \cos35^\circ) + (\cos35^\circ - \cos45^\circ) + (\cos45^\circ - \cos55^\circ)$.
Это телескопическая сумма, в которой промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются: $2S\sin5^\circ = \cos5^\circ - \cos55^\circ$.
Воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos\alpha - \cos\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\beta-\alpha}{2}$.
$ \cos5^\circ - \cos55^\circ = 2\sin\frac{5^\circ+55^\circ}{2}\sin\frac{55^\circ-5^\circ}{2} = 2\sin\frac{60^\circ}{2}\sin\frac{50^\circ}{2} = 2\sin30^\circ\sin25^\circ$.
Подставим это в наше уравнение: $2S\sin5^\circ = 2\sin30^\circ\sin25^\circ$.
Так как $\sin30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем: $2S\sin5^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin25^\circ = \sin25^\circ$.
Разделим обе части на $2\sin5^\circ \neq 0$: $S = \frac{\sin25^\circ}{2\sin5^\circ}$.
Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.