Номер 27.21, страница 200 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.21. Вычислите сумму $S = \frac{1}{\sin \alpha \sin 2\alpha} + \frac{1}{\sin 2\alpha \sin 3\alpha} + \dots + \frac{1}{\sin (n-1)\alpha \sin n\alpha}$.

Для вычисления данной суммы воспользуемся методом телескопических сумм. Общий член ряда имеет вид: $a_k = \frac{1}{\sin(k\alpha) \sin((k+1)\alpha)}$, где $k$ изменяется от 1 до $n-1$.

Ключевая идея состоит в том, чтобы представить каждый член суммы в виде разности двух последовательных членов некоторой другой последовательности. Для этого домножим числитель и знаменатель $a_k$ на $\sin\alpha$ и воспользуемся формулой синуса разности для $\sin\alpha = \sin((k+1)\alpha - k\alpha)$.

$\sin\alpha = \sin((k+1)\alpha - k\alpha) = \sin((k+1)\alpha)\cos(k\alpha) - \cos((k+1)\alpha)\sin(k\alpha)$.

Преобразуем общий член $a_k$:$a_k = \frac{1}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin\alpha}{\sin(k\alpha) \sin((k+1)\alpha)} = \frac{1}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin((k+1)\alpha)\cos(k\alpha) - \cos((k+1)\alpha)\sin(k\alpha)}{\sin(k\alpha) \sin((k+1)\alpha)}$.

Разделим полученную дробь на две части:$a_k = \frac{1}{\sin\alpha} \left( \frac{\sin((k+1)\alpha)\cos(k\alpha)}{\sin(k\alpha) \sin((k+1)\alpha)} - \frac{\cos((k+1)\alpha)\sin(k\alpha)}{\sin(k\alpha) \sin((k+1)\alpha)} \right)$.

После сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе каждой дроби, получим:$a_k = \frac{1}{\sin\alpha} \left( \frac{\cos(k\alpha)}{\sin(k\alpha)} - \frac{\cos((k+1)\alpha)}{\sin((k+1)\alpha)} \right)$.

Используя определение котангенса $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$, запишем выражение для $a_k$ в более компактном виде:$a_k = \frac{1}{\sin\alpha} (\cot(k\alpha) - \cot((k+1)\alpha))$.

Теперь вся сумма $S$ представляет собой телескопическую сумму:$S = \sum_{k=1}^{n-1} a_k = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sin\alpha} (\cot(k\alpha) - \cot((k+1)\alpha))$.

Вынесем постоянный множитель $\frac{1}{\sin\alpha}$ за скобки и распишем сумму:$S = \frac{1}{\sin\alpha} \big[ (\cot\alpha - \cot(2\alpha)) + (\cot(2\alpha) - \cot(3\alpha)) + \dots + (\cot((n-1)\alpha) - \cot(n\alpha)) \big]$.

Все промежуточные слагаемые в этой сумме взаимно уничтожаются. Остаются только первое и последнее слагаемое:$S = \frac{1}{\sin\alpha} (\cot\alpha - \cot(n\alpha))$.

Для получения окончательного ответа упростим это выражение. Перейдем от котангенсов к синусам и косинусам и приведем дроби к общему знаменателю:$S = \frac{1}{\sin\alpha} \left( \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)} \right) = \frac{1}{\sin\alpha} \left( \frac{\sin(n\alpha)\cos\alpha - \cos(n\alpha)\sin\alpha}{\sin\alpha \sin(n\alpha)} \right)$.

Выражение в числителе скобок является формулой синуса разности $\sin(n\alpha - \alpha) = \sin((n-1)\alpha)$. Подставим его обратно в формулу для $S$:$S = \frac{1}{\sin\alpha} \cdot \frac{\sin((n-1)\alpha)}{\sin\alpha \sin(n\alpha)} = \frac{\sin((n-1)\alpha)}{\sin^2\alpha \sin(n\alpha)}$.

Ответ: $S = \frac{\sin((n-1)\alpha)}{\sin^2\alpha \sin n\alpha}$.