gdz.top
Номер 27.5, страница 198 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 27. Формулы для преобразования суммы, разности и произведения тригонометрических функций - номер 27.5, страница 198.
№27.4
№27.5 (с. 198)
Условие. №27.5 (с. 198)
27.5. Упростите выражение:
1) $\sin\alpha(1 + 2\cos2\alpha)$;
2) $\cos2\alpha + 2\sin(\alpha + 30^\circ) \sin(\alpha - 30^\circ)$.
Решение. №27.5 (с. 198)
1) $\sin\alpha(1 + 2\cos(2\alpha))$
Для упрощения данного выражения раскроем скобки и применим тригонометрические формулы.
$\sin\alpha(1 + 2\cos(2\alpha)) = \sin\alpha + 2\sin\alpha\cos(2\alpha)$
Теперь воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму: $2\sin x \cos y = \sin(x+y) + \sin(x-y)$.
В нашем случае $x = \alpha$ и $y = 2\alpha$.
$2\sin\alpha\cos(2\alpha) = \sin(\alpha + 2\alpha) + \sin(\alpha - 2\alpha) = \sin(3\alpha) + \sin(-\alpha)$
Так как синус является нечетной функцией, $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$. Следовательно:
$2\sin\alpha\cos(2\alpha) = \sin(3\alpha) - \sin\alpha$
Подставим полученное выражение обратно в исходное:
$\sin\alpha + (\sin(3\alpha) - \sin\alpha) = \sin\alpha + \sin(3\alpha) - \sin\alpha = \sin(3\alpha)$
Ответ: $\sin(3\alpha)$
2) $\cos(2\alpha) + 2\sin(\alpha + 30^\circ)\sin(\alpha - 30^\circ)$
Для упрощения этого выражения преобразуем произведение синусов во втором слагаемом.
Воспользуемся формулой преобразования произведения в разность: $2\sin x \sin y = \cos(x-y) - \cos(x+y)$.
В нашем случае $x = \alpha + 30^\circ$ и $y = \alpha - 30^\circ$.
Найдем разность и сумму аргументов:
$x - y = (\alpha + 30^\circ) - (\alpha - 30^\circ) = \alpha + 30^\circ - \alpha + 30^\circ = 60^\circ$
$x + y = (\alpha + 30^\circ) + (\alpha - 30^\circ) = 2\alpha$
Подставим эти значения в формулу:
$2\sin(\alpha + 30^\circ)\sin(\alpha - 30^\circ) = \cos(60^\circ) - \cos(2\alpha)$
Теперь подставим результат в исходное выражение:
$\cos(2\alpha) + (\cos(60^\circ) - \cos(2\alpha))$
Упростим, сократив $\cos(2\alpha)$ и $-\cos(2\alpha)$:
$\cos(2\alpha) + \cos(60^\circ) - \cos(2\alpha) = \cos(60^\circ)$
Значение косинуса 60 градусов известно:
$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 27.5 расположенного на странице 198 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №27.5 (с. 198), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.