Номер 27.4, страница 198 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

27.4. Преобразуйте в произведение:

1) $1 - 2\sin \alpha;$ 3) $\sqrt{2} + 2\cos \alpha;$

2) $\sqrt{3} - 2\cos \alpha;$ 4) $\sqrt{3} - \operatorname{tg} \alpha.$

1) $1 - 2\sin\alpha$

Чтобы преобразовать данное выражение в произведение, вынесем множитель 2 за скобки:

$1 - 2\sin\alpha = 2(\frac{1}{2} - \sin\alpha)$

Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение:

$2(\sin\frac{\pi}{6} - \sin\alpha)$

Теперь воспользуемся формулой разности синусов: $\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

Применив формулу, получаем:

$2 \cdot 2\cos\left(\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right) = 4\cos\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\cos(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2})$.

2) $\sqrt{3} - 2\cos\alpha$

Вынесем множитель 2 за скобки:

$\sqrt{3} - 2\cos\alpha = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} - \cos\alpha)$

Поскольку $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, заменим числовое значение на косинус:

$2(\cos\frac{\pi}{6} - \cos\alpha)$

Применим формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

$2 \cdot \left(-2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{6}+\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\frac{\pi}{6}-\alpha}{2}\right)\right) = -4\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-z) = -\sin(z)$, мы можем преобразовать $\sin(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}) = -\sin(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12})$. Это позволяет избавиться от знака "минус" перед всем выражением:

$-4\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\left(-\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12}\right)\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12}\right)$

Ответ: $4\sin(\frac{\pi}{12}+\frac{\alpha}{2})\sin(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{12})$.

3) $\sqrt{2} + 2\cos\alpha$

Вынесем множитель 2 за скобки:

$\sqrt{2} + 2\cos\alpha = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos\alpha)$

Заменим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\cos(\frac{\pi}{4})$:

$2(\cos\frac{\pi}{4} + \cos\alpha)$

Теперь используем формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

$2 \cdot 2\cos\left(\frac{\frac{\pi}{4}+\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{4}-\alpha}{2}\right) = 4\cos\left(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\cos(\frac{\pi}{8}+\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\pi}{8}-\frac{\alpha}{2})$.

4) $\sqrt{3} - \tan\alpha$

Представим число $\sqrt{3}$ как значение тангенса угла $\frac{\pi}{3}$, то есть $\sqrt{3} = \tan(\frac{\pi}{3})$.

$\tan(\frac{\pi}{3}) - \tan\alpha$

Запишем тангенсы через отношение синуса к косинусу и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{\cos(\frac{\pi}{3})} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin(\frac{\pi}{3})\cos\alpha - \cos(\frac{\pi}{3})\sin\alpha}{\cos(\frac{\pi}{3})\cos\alpha}$

Числитель полученной дроби соответствует формуле синуса разности: $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$.

В знаменателе $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Подставив эти значения, получим:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)}{\frac{1}{2}\cos\alpha} = \frac{2\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)}{\cos\alpha}$

Ответ: $\frac{2\sin(\frac{\pi}{3}-\alpha)}{\cos\alpha}$.