Номер 26.48, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.48. Докажите, что $\sin 10^\circ$ — иррациональное число.

Для доказательства того, что $sin(10°)$ является иррациональным числом, воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что $sin(10°)$ — рациональное число. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p $ и $ q $ — целые числа, и $ q \ne 0 $.

Рассмотрим известную тригонометрическую формулу синуса тройного угла:

$sin(3\alpha) = 3sin(\alpha) - 4sin^3(\alpha)$

Пусть $\alpha = 10°$. Тогда $3\alpha = 30°$. Подставим эти значения в формулу:

$sin(30°) = 3sin(10°) - 4sin^3(10°)$

Мы знаем, что $sin(30°) = \frac{1}{2}$. Обозначим $x = sin(10°)$. Тогда уравнение принимает вид:

$\frac{1}{2} = 3x - 4x^3$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$1 = 6x - 8x^3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами:

$8x^3 - 6x + 1 = 0$

Мы установили, что $x = sin(10°)$ является корнем этого кубического уравнения. Согласно нашему первоначальному предположению, $x$ — рациональное число.

Теперь воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена. Согласно этой теореме, если у многочлена $a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 = 0$ с целыми коэффициентами есть рациональный корень $\frac{p}{q}$ (в виде несократимой дроби), то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ должен быть делителем старшего коэффициента $a_n$.

В нашем уравнении $8x^3 - 6x + 1 = 0$ свободный член $a_0 = 1$, а старший коэффициент $a_3 = 8$.

Следовательно, возможные целые значения для $p$ — это делители числа 1: $ \pm 1 $.

Возможные натуральные значения для $q$ — это делители числа 8: $1, 2, 4, 8$.

Таким образом, все возможные рациональные корни нашего уравнения находятся среди следующих чисел: $ \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8} $.

Проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем уравнения $P(x) = 8x^3 - 6x + 1 = 0$, подставляя их вместо $x$.

При $x = 1$: $P(1) = 8(1)^3 - 6(1) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3 \ne 0$.

При $x = -1$: $P(-1) = 8(-1)^3 - 6(-1) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1 \ne 0$.

При $x = \frac{1}{2}$: $P(\frac{1}{2}) = 8(\frac{1}{2})^3 - 6(\frac{1}{2}) + 1 = 8(\frac{1}{8}) - 3 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \ne 0$.

При $x = -\frac{1}{2}$: $P(-\frac{1}{2}) = 8(-\frac{1}{2})^3 - 6(-\frac{1}{2}) + 1 = 8(-\frac{1}{8}) + 3 + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \ne 0$.

При $x = \frac{1}{4}$: $P(\frac{1}{4}) = 8(\frac{1}{4})^3 - 6(\frac{1}{4}) + 1 = 8(\frac{1}{64}) - \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{8} - \frac{12}{8} + \frac{8}{8} = -\frac{3}{8} \ne 0$.

При $x = -\frac{1}{4}$: $P(-\frac{1}{4}) = 8(-\frac{1}{4})^3 - 6(-\frac{1}{4}) + 1 = 8(-\frac{1}{64}) + \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{8} + \frac{12}{8} + \frac{8}{8} = \frac{19}{8} \ne 0$.

При $x = \frac{1}{8}$: $P(\frac{1}{8}) = 8(\frac{1}{8})^3 - 6(\frac{1}{8}) + 1 = 8(\frac{1}{512}) - \frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{64} - \frac{48}{64} + \frac{64}{64} = \frac{17}{64} \ne 0$.

При $x = -\frac{1}{8}$: $P(-\frac{1}{8}) = 8(-\frac{1}{8})^3 - 6(-\frac{1}{8}) + 1 = 8(-\frac{1}{512}) + \frac{3}{4} + 1 = -\frac{1}{64} + \frac{48}{64} + \frac{64}{64} = \frac{111}{64} \ne 0$.

Ни одно из возможных рациональных чисел не является корнем уравнения. Это означает, что у уравнения $8x^3 - 6x + 1 = 0$ нет рациональных корней.

Мы пришли к противоречию: $sin(10°)$ является корнем этого уравнения, но при этом уравнение не имеет рациональных корней. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $sin(10°)$ является рациональным числом, было неверным.

Таким образом, $sin(10°)$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $sin(10°)$ является иррациональным числом. Это следует из того, что $sin(10°)$ является корнем многочлена с целыми коэффициентами $8x^3 - 6x + 1 = 0$, который, согласно теореме о рациональных корнях, не имеет рациональных корней.