Номер 26.43, страница 194 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.43. Докажите тождество $\sin3\alpha\sin^3\alpha + \cos3\alpha\cos^3\alpha = \cos^32\alpha$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся формулами синуса и косинуса тройного угла:

$\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$

$\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$

Подставим эти выражения в левую часть доказываемого тождества:

$\sin(3\alpha)\sin^3\alpha + \cos(3\alpha)\cos^3\alpha = (3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha)\sin^3\alpha + (4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha)\cos^3\alpha$

Раскроем скобки:

$3\sin^4\alpha - 4\sin^6\alpha + 4\cos^6\alpha - 3\cos^4\alpha$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$4(\cos^6\alpha - \sin^6\alpha) - 3(\cos^4\alpha - \sin^4\alpha)$

Теперь преобразуем выражения в скобках. Для первого выражения применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, получаем:

$\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = \cos(2\alpha) \cdot 1 = \cos(2\alpha)$

Для второго выражения в скобках применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=\cos^2\alpha$ и $b=\sin^2\alpha$:

$\cos^6\alpha - \sin^6\alpha = (\cos^2\alpha)^3 - (\sin^2\alpha)^3 = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^4\alpha + \cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha)$

Первый множитель равен $\cos(2\alpha)$. Преобразуем второй множитель, выделив полный квадрат:

$\cos^4\alpha + \cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha = (\cos^4\alpha + 2\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha) - \cos^2\alpha\sin^2\alpha$

$= (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2 - (\cos\alpha\sin\alpha)^2$

Используя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$1^2 - \left(\frac{\sin(2\alpha)}{2}\right)^2 = 1 - \frac{\sin^2(2\alpha)}{4}$

Таким образом, выражение $\cos^6\alpha - \sin^6\alpha$ равно:

$\cos(2\alpha)\left(1 - \frac{\sin^2(2\alpha)}{4}\right)$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное преобразованное выражение:

$4\cos(2\alpha)\left(1 - \frac{\sin^2(2\alpha)}{4}\right) - 3\cos(2\alpha)$

Раскроем скобки и упростим:

$4\cos(2\alpha) - 4\cos(2\alpha)\frac{\sin^2(2\alpha)}{4} - 3\cos(2\alpha)$

$= 4\cos(2\alpha) - \cos(2\alpha)\sin^2(2\alpha) - 3\cos(2\alpha)$

$= \cos(2\alpha) - \cos(2\alpha)\sin^2(2\alpha)$

Вынесем общий множитель $\cos(2\alpha)$ за скобки:

$\cos(2\alpha)(1 - \sin^2(2\alpha))$

Применив основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2(2\alpha) = \cos^2(2\alpha)$, получаем:

$\cos(2\alpha) \cdot \cos^2(2\alpha) = \cos^3(2\alpha)$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна $\cos^3(2\alpha)$, что совпадает с его правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество $\sin3\alpha\sin^3\alpha + \cos3\alpha\cos^3\alpha = \cos^32\alpha$ доказано.