Номер 26.40, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.40. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha) 2 \operatorname{ctg} 2 \alpha \cdot \operatorname{tg} 2 \alpha + 2}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$;

2) $\sqrt{\frac{\cos 2 \alpha}{\operatorname{ctg}^{2} \alpha - \operatorname{tg}^{2} \alpha}}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$.

1) Упростим выражение $\sqrt{(\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha)2\operatorname{ctg}2\alpha - \operatorname{tg}^2{2\alpha} + 2}$ при условии $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$.

Сначала преобразуем разность $\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha$:

$\operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используя формулы двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ и $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = 2\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = 2\operatorname{ctg}(2\alpha)$

Теперь подставим полученное выражение в исходное подкоренное выражение:

$(2\operatorname{ctg}2\alpha) \cdot 2\operatorname{ctg}2\alpha - \operatorname{tg}^2{2\alpha} + 2 = 4\operatorname{ctg}^2{2\alpha} - \operatorname{tg}^2{2\alpha} + 2$

Таким образом, нам нужно упростить $\sqrt{4\operatorname{ctg}^2{2\alpha} - \operatorname{tg}^2{2\alpha} + 2}$.

Проанализируем знак подкоренного выражения при заданном условии $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$.

Умножим неравенство на 2, чтобы определить диапазон для $2\alpha$:

$\pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$

Это означает, что угол $2\alpha$ находится в III координатной четверти.

Рассмотрим поведение подкоренного выражения, когда угол $\alpha$ приближается к границе интервала, например, к $\frac{3\pi}{4}$. В этом случае $2\alpha$ приближается к $\frac{3\pi}{2}$ (слева).

При $2\alpha \to \frac{3\pi}{2}$:

• $\sin(2\alpha) \to -1$
• $\cos(2\alpha) \to 0^-$ (стремится к нулю, оставаясь отрицательным)
• $\operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \to \frac{-1}{0^-} \to +\infty$
• $\operatorname{ctg}(2\alpha) = \frac{1}{\operatorname{tg}(2\alpha)} \to 0$

Тогда подкоренное выражение $4\operatorname{ctg}^2{2\alpha} - \operatorname{tg}^2{2\alpha} + 2$ стремится к $4(0)^2 - (+\infty)^2 + 2$, что стремится к $-\infty$.

Поскольку подкоренное выражение принимает отрицательные значения на части заданного интервала, исходное выражение не определено для всех $\alpha$ из условия. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. В представленном виде выражение упростить невозможно.

Ответ: Выражение не определено на всем заданном интервале, упрощение невозможно.

2) Упростим выражение $\sqrt{\frac{\cos2\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha}}$, если $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$.

Сначала преобразуем знаменатель дроби под корнем:

$\operatorname{ctg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^4\alpha - \sin^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$

В числителе используем формулу разности квадратов:

$\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$

Так как $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos2\alpha$ и $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$, числитель равен $\cos2\alpha$.

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, откуда $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin2\alpha$. Тогда:

$\sin^2\alpha\cos^2\alpha = (\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \left(\frac{1}{2}\sin2\alpha\right)^2 = \frac{1}{4}\sin^2{2\alpha}$

Таким образом, знаменатель дроби равен:

$\operatorname{ctg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\cos2\alpha}{\frac{1}{4}\sin^2{2\alpha}} = \frac{4\cos2\alpha}{\sin^2{2\alpha}}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt{\frac{\cos2\alpha}{\frac{4\cos2\alpha}{\sin^2{2\alpha}}}}$

Из условия $\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$ следует, что $\pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$. В этом интервале (III четверть) $\cos2\alpha < 0$. Так как $\cos2\alpha \ne 0$, мы можем сократить дробь на $\cos2\alpha$:

$\sqrt{\frac{1}{\frac{4}{\sin^2{2\alpha}}}} = \sqrt{\frac{\sin^2{2\alpha}}{4}} = \frac{|\sin2\alpha|}{2}$

Определим знак $\sin2\alpha$. Для угла $2\alpha$ в III четверти ($\pi < 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$) синус отрицателен, то есть $\sin2\alpha < 0$.

Следовательно, $|\sin2\alpha| = -\sin2\alpha$.

Окончательно получаем:

$\frac{-\sin2\alpha}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}\sin2\alpha$.