Номер 26.33, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

26.33. Докажите, что:

1) $\sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{1}{4}$;

2) $8 \cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{4\pi}{9} = 1$;

3) $\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{5\pi}{7} = \frac{1}{8}$;

4) $\sin 6^\circ \sin 42^\circ \cos 12^\circ \cos 24^\circ = \frac{1}{16}$.

1) Докажем тождество $\sin18^\circ\cos36^\circ = \frac{1}{4}$.

Пусть $L = \sin18^\circ\cos36^\circ$. Умножим и разделим левую часть на $2\cos18^\circ$. Поскольку $18^\circ$ находится в первом квадранте, $\cos18^\circ \neq 0$.

$L = \frac{2\sin18^\circ\cos18^\circ\cos36^\circ}{2\cos18^\circ}$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем:

$L = \frac{\sin(2 \cdot 18^\circ)\cos36^\circ}{2\cos18^\circ} = \frac{\sin36^\circ\cos36^\circ}{2\cos18^\circ}$

Снова применим формулу синуса двойного угла, умножив числитель и знаменатель на 2:

$L = \frac{2\sin36^\circ\cos36^\circ}{2 \cdot 2\cos18^\circ} = \frac{\sin(2 \cdot 36^\circ)}{4\cos18^\circ} = \frac{\sin72^\circ}{4\cos18^\circ}$

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$, получаем $\sin72^\circ = \sin(90^\circ - 18^\circ) = \cos18^\circ$.

$L = \frac{\cos18^\circ}{4\cos18^\circ} = \frac{1}{4}$

Следовательно, $\sin18^\circ\cos36^\circ = \frac{1}{4}$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем тождество $8\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9} = 1$.

Обозначим левую часть за $L$.

$L = 8\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}$

Умножим и разделим выражение на $\sin\frac{\pi}{9}$. Так как $\frac{\pi}{9} \neq \pi k$ для целого $k$, то $\sin\frac{\pi}{9} \neq 0$.

$L = \frac{8\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$

Последовательно применяем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$L = \frac{4 \cdot (2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9})\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{4\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$

$L = \frac{2 \cdot (2\sin\frac{2\pi}{9}\cos\frac{2\pi}{9})\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{2\sin\frac{4\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$

$L = \frac{\sin(2 \cdot \frac{4\pi}{9})}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{\sin\frac{8\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}$

Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$, получаем:

$\sin\frac{8\pi}{9} = \sin(\pi - \frac{\pi}{9}) = \sin\frac{\pi}{9}$

Следовательно,

$L = \frac{\sin\frac{\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = 1$

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Докажем тождество $\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7} = \frac{1}{8}$.

Обозначим левую часть за $L$.

$L = \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{5\pi}{7}$

Используем формулы приведения. Заметим, что $\cos\frac{4\pi}{7} = \cos(\pi - \frac{3\pi}{7}) = -\cos\frac{3\pi}{7}$ и $\cos\frac{5\pi}{7} = \cos(\pi - \frac{2\pi}{7}) = -\cos\frac{2\pi}{7}$.

Подставим эти выражения в исходное равенство:

$L = \cos\frac{\pi}{7} \cdot (-\cos\frac{3\pi}{7}) \cdot (-\cos\frac{2\pi}{7}) = \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}$

Умножим и разделим полученное выражение на $2\sin\frac{\pi}{7}$ (так как $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$):

$L = \frac{2\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}}$

Применяем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$L = \frac{\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\frac{1}{2} (2\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7})\cos\frac{3\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\frac{1}{2}\sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{\sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}}$

Применим формулу произведения синуса на косинус $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$:

$\sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7} = \frac{1}{2}\left(\sin(\frac{4\pi}{7}+\frac{3\pi}{7}) + \sin(\frac{4\pi}{7}-\frac{3\pi}{7})\right) = \frac{1}{2}(\sin\pi + \sin\frac{\pi}{7}) = \frac{1}{2}(0 + \sin\frac{\pi}{7}) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7}$

Подставляем обратно в выражение для $L$:

$L = \frac{\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7}}{4\sin\frac{\pi}{7}} = \frac{1}{8}$

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Докажем тождество $\sin6^\circ\sin42^\circ\cos12^\circ\cos24^\circ = \frac{1}{16}$.

Обозначим левую часть за $L$.

$L = \sin6^\circ\sin42^\circ\cos12^\circ\cos24^\circ$

Умножим обе части равенства на $\cos6^\circ$. Так как $6^\circ$ находится в первом квадранте, $\cos6^\circ \neq 0$.

$L \cdot \cos6^\circ = \sin6^\circ\cos6^\circ\sin42^\circ\cos12^\circ\cos24^\circ$

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$:

$L \cdot \cos6^\circ = \frac{1}{2}(2\sin6^\circ\cos6^\circ)\sin42^\circ\cos12^\circ\cos24^\circ = \frac{1}{2}\sin12^\circ\cos12^\circ\sin42^\circ\cos24^\circ$

Снова применяем ту же формулу:

$L \cdot \cos6^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(2\sin12^\circ\cos12^\circ)\sin42^\circ\cos24^\circ = \frac{1}{4}\sin24^\circ\cos24^\circ\sin42^\circ$

И еще раз:

$L \cdot \cos6^\circ = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}(2\sin24^\circ\cos24^\circ)\sin42^\circ = \frac{1}{8}\sin48^\circ\sin42^\circ$

Теперь используем формулу произведения синусов $2\sin\alpha\sin\beta = \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)$:

$\sin48^\circ\sin42^\circ = \frac{1}{2}(\cos(48^\circ-42^\circ) - \cos(48^\circ+42^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos6^\circ - \cos90^\circ)$

Так как $\cos90^\circ = 0$, получаем:

$\sin48^\circ\sin42^\circ = \frac{1}{2}\cos6^\circ$

Подставляем это в наше уравнение:

$L \cdot \cos6^\circ = \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2}\cos6^\circ) = \frac{1}{16}\cos6^\circ$

Разделив обе части на $\cos6^\circ$, получаем:

$L = \frac{1}{16}$

Ответ: Что и требовалось доказать.